Coeficiente de correlación Intervalo de confianza con una correlación dada

El proceso de esta calculadora es muy similar al de la calculadora normal calculadora de intervalos de confianza para la correlación de la muestra con la única diferencia de que en este caso no se dispone de un conjunto de datos de la muestra, sino de la propia correlación de la muestra.

¿Sólo necesita la correlación dada para obtener el intervalo de confianza?

No, necesitas un poco más. Haber proporcionado ya la muestra de correlación es genial, porque puedes ahorrarte el trabajo de calcularla a mano.

Pero, sin embargo, también es necesario conocer el tamaño de la muestra \(n\) que se utilizó para calcular la correlación de la muestra (es decir, el número de pares X e Y), y también, naturalmente, como con todos los intervalos de confianza, es necesario especificar el nivel de confianza.

El nivel de confianza más utilizado es el 95% (o 0,95), pero también se puede utilizar el 90%, el 98%, el 99%, etc., y cualquier otro nivel intermedio. En otras palabras, se dan la correlación y el tamaño de la muestra, y se elige el nivel de confianza.

¿Cómo se encuentra el coeficiente de correlación y el intervalo de confianza, con una correlación dada?

Exactamente igual que se hace con un conjunto de datos. Una vez que tienes la correlación (que ahora te dan), la transformas y calculas una transformación especial de la correlación (basada en la tangente hiperbólica inversa).

A continuación, se calculan los límites de un intervalo de confianza para la correlación transformada, y luego se transforman de nuevo esos límites (utilizando la tangente hiperbólica), para obtener el intervalo de confianza que se busca.

Ejemplo

Suponga que la correlación de la muestra es \(r = 0.45\), con un tamaño de muestra de \(n = 18\). Calcule el intervalo de confianza del 99% para el coeficiente de correlación de la muestra:

Solución:

Se ha facilitado la siguiente información:

Sample Correlation \(r\) =	\(0.45\)
Sample Size \(n\) =	\(18\)
Confidence level =	\(99\%\)

Paso 1: Calcular la transformación del coeficiente de correlación de la muestra

El siguiente paso consiste en calcular la transformación (tangente hiperbólica inversa) del coeficiente de correlación muestral que nos han proporcionado.

Lo que se pretende es construir un intervalo de confianza auxiliar para una transformación de la correlación, que corresponde a la tangente hiperbólica inversa, a partir del cual derivar un intervalo de confianza para la propia correlación. Se obtiene lo siguiente:

\[r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485\]

Paso 2: Calcular el error estándar

Ahora calcularemos el error estándar \(SE\) para el intervalo de confianza auxiliar, utilizando la siguiente fórmula:

\[ SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258\]

donde \(n = 18\) corresponde al tamaño de la muestra (el número de pares).

Paso 3: Calcular el intervalo de confianza auxiliar

Ahora tenemos que calcular el intervalo de confianza auxiliar, que es el intervalo de confianza del logaritmo de la correlación.

El nivel de confianza requerido es \(99\%\), por lo que entonces el valor crítico z correspondiente es \(z_c = 2.576\), que se obtiene utilizando una tabla de distribución normal (o su calculadora). Con esta información calculamos los límites inferior y superior del intervalo auxiliar:

Con esta información calculamos los límites inferior y superior del intervalo auxiliar:

\[ L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18\]

y

\[ U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15\]

por lo que el intervalo de confianza auxiliar para la correlación transformada es \(CI' = (-0.18, 1.15)\).

Paso 4: Calcular el intervalo de confianza para la correlación

Por último, podemos calcular la \(99\%\) que buscamos aplicando la función tangente hiperbólica a los límites del intervalo de confianza auxiliar obtenido anteriormente:

\[ L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178\]\[ U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818\]

Por lo tanto, basándose en la información proporcionada anteriormente, el coeficiente de correlación de la muestra es \(r = 0.45\), y el intervalo de confianza \(99\%\) para la correlación de la muestra es \(CI = (-0.178, 0.818)\).

Interpretación: En base a los resultados encontrados anteriormente, estamos \(99\%\) seguros de que el intervalo \((-0.178, 0.818)\) contiene la verdadera correlación poblacional \(\rho\).