Como calcular Z-Scores
Suponha que \(X\) tenha uma distribuição normal, com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\). Isso normalmente é escrito como
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Então o Z-score associado a \(X\) é definido como
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Exemplo: Considere a variável aleatória \(X\), que tem uma distribuição normal, com média \(\mu = 34 \) e desvio padrão \(\sigma = 4\). Calcule a pontuação z de \(X = 41\).
Responda :
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]O que o z-score representa?
O z-score fornece medidas de quão longe a variável aleatória \(X\) está de sua média \(\mu\). Esta medida não é arbitrária, indica quantos desvios padrão o valor de \(X\) está longe de \(\mu\). Em outras palavras, um z-score de 1,75 indica que o valor de \(X\) está a 1,75 desvios-padrão de sua média. Uma vez que a pontuação z é positiva, isso significa que o valor de \(X\) é 1,75 desvios-padrão à direita de sua média, para ser mais preciso.
Aplicações de Z-scores
Exemplo de aplicação: Peter fez seu exame de finanças na semana passada e conseguiu 89/100. A média da classe dele era 77, com um desvio padrão de 15. Jenna também fez seu teste de matemática na semana passada e tirou 84/100. A média da turma dela era 75, com desvio padrão de 5. Eles estavam discutindo sobre quem se saiu melhor, quem você acha que se saiu melhor em relação à sua turma?
Responda : Precisamos usar z-scores. Para Peter temos
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]Por outro lado, para Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]A pontuação z associada ao teste de pontuação de Jenna é maior do que o teste de pontuação z associada ao teste de pontuação de Peter, o que significa que Jenna se saiu melhor do que Peter, em relação à sua classe.