Este é um bom tópico para um tutorial porque o conceito de percentil tende a ser confuso, devido ao fato de que informações um tanto confusas às vezes são fornecidas aos alunos, e há muitas convenções em torno que às vezes podem ser enganosas e até mesmo totalmente erradas. Nos parágrafos a seguir, iremos delinear o conceito de percentil de forma precisa, para que você saiba exatamente do que estamos falando.

Distribuição cumulativa

Em primeiro lugar, é preciso ter clareza sobre a definição de percentil, que está associada ao conceito de distribuição cumulativa. Para uma variável aleatória X, a função de distribuição cumulativa associada é definida como

Isto é, para um determinado valor x , a função de distribuição cumulativa associada é a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a x . Observe que o símbolo usado x como o argumento é um argumento de função genérica. Se escrevermos ${{F}_{X}}\left( y \right)$, queremos dizer a distribuição cumulativa no valor de y (que corresponde à probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a y ), ou se escrevermos ${{F}_{X}}\left( 4 \right)$, queremos dizer a distribuição cumulativa em 4 (que corresponde à probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a 4).

Com tal definição, fica claro que ${{F}_{X}}$ é uma função que assume valores de 0 a 1 (uma vez que vem de uma probabilidade) e não é decrescente (isto é, aumenta ou permanece constante, mas nunca diminui) , mas o que é menos óbvio, e que pode ser provado a partir dos axiomas de probabilidade, qualquer função de distribuição cumulativa ${{F}_{X}}$ é muito bem comportada, pois é contínua à direita (o que significa grosso modo que a função é contínua ou pode potencialmente ter "pula" .... é mais complicado do que isso, mas por enquanto você pode pensar assim). Em geral, as variáveis ​​aleatórias que assumem um intervalo contínuo de valores terão uma função cumulativa contínua ${{F}_{X}}$, enquanto as variáveis ​​aleatórias que assumem um intervalo discreto de valores terão "saltos" no gráfico de seus ${{F}_{X}}$ associados.

O que é um percentil?

Agora podemos definir um percentil. Para $\alpha \in \left[ 0,1 \right]$, definimos um percentil $\alpha$ como ${{P}_{\alpha }}$, de modo que

Na linguagem humana, um percentil $\alpha$ é um ponto para que a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a esse ponto é exatamente $\alpha$. Por exemplo, um percentil 0,10 é um ponto na distribuição de forma que a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a esse ponto seja exatamente 0,10. Normalmente, em vez de pedir, por exemplo, o percentil 0,10, será solicitado o percentil 10%, ou o 10º percentil. Essas são notações simples que você deve conhecer.

Um percentil ${{P}_{\alpha }}$ para uma variável aleatória X é bem definido quando a função de distribuição cumulativa ${{F}_{X}}\left( x \right)$ é contínua. Se ${{F}_{X}}\left( x \right)$ tem "saltos" em seu gráfico, então pode ser um pouco mais difícil definir alguns valores percentuais. É por isso que os percentis são bem definidos para variáveis ​​aleatórias contínuas (como distribuição normal, distribuição exponencial, etc.), mas pode ser difícil para variáveis ​​discretas (como Poisson, Binomial, etc.).

Como calcular é um percentil?

Primeiro, você precisa conhecer a função cumulativa ${{F}_{X}}$. Então, para $\alpha$ entre 0 e 1, precisamos resolver para $x$:

Observe que resolver para x a equação acima é o mesmo que interceptar a curva $F_{X}(x)$ com a linha $y=\alpha$ (que é paralela ao eixo x). Quando ${{F}_{X}}$ é contínuo, a interseção entre a linha $y=\alpha$ e ${{F}_{X}}\left( x \right)$ existe, mas isso não é necessariamente verdadeiro para todos os valores de $\alpha$ para um ${{F}_{X}}\left( x \right)$ não contínuo.

Um percentil é um parâmetro ou uma estatística?

Para a definição que fornecemos, um percentil é um parâmetro da população, pois depende estritamente da função de distribuição e não dos dados da amostra. É aí que surge a confusão. Às vezes, os alunos recebem dados de amostra e são solicitados a calcular um percentil. Na realidade, o que eles estão sendo solicitados a calcular é um percentil de amostra, uma estatística que é calculada usando dados de amostra e que esperamos que seja uma boa estimativa do correspondente. percentil da população.