Tutoriais de estatística - Z Scores
Suponha que \(X\) tenha uma distribuição normal, com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\). Isso normalmente é escrito como
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Então o Z-score associado a \(X\) é definido como
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Exemplo: Considere a variável aleatória \(X\), que tem uma distribuição normal, com média \(\mu = 34 \) e desvio padrão \(\sigma = 4\). Calcule a pontuação z de \(X = 41\).
Responda :
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]O que o z-score representa?
O z-score fornece medidas de quão longe a variável aleatória \(X\) está de sua média \(\mu\). Esta medida não é arbitrária, indica quantos desvios padrão o valor de \(X\) está longe de \(\mu\). Em outras palavras, um z-score de 1,75 indica que o valor de \(X\) está a 1,75 desvios-padrão de sua média. Como o escore z é positivo, isso significa que o valor de \(X\) é 1,75 desvio padrão à direita de sua média, para ser mais preciso.
Exemplo de aplicação: Peter fez seu exame de finanças na semana passada e conseguiu 89/100. A média da classe dele era 77, com um desvio padrão de 15. Jenna também fez seu teste de matemática na semana passada e tirou 84/100. A média da turma dela era 75, com desvio padrão de 5. Eles estavam discutindo sobre quem se saiu melhor, quem você acha que se saiu melhor em relação à sua turma?
Responda : Precisamos usar z-scores. Para Peter temos
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]Por outro lado, para Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]A pontuação z associada ao teste de pontuação de Jenna é maior do que o teste de pontuação z associada ao teste de pontuação de Peter, o que significa que Jenna se saiu melhor do que Peter, em relação à sua classe.
Por que usamos Z-scores
A ideia por trás do uso da pontuação z é normalizar pontuações brutas específicas que podem ser medidas em escalas diferentes. Ao normalizar os escores, podemos comparar os escores brutos medidos em escalas diferentes, em termos de como eles se posicionam em relação à sua própria população.
Mas usar z-scores não é a única maneira de normalizar. Existem também outros escores padronizados, como os escores T, que são calculados em termos do escore z usando a fórmula \(T = 50 = 10z\), onde z é o escore z correspondente. Você pode usar isso z-score para T-score calculadora para fazer o cálculo.