Mais sobre a distribuição de amostragem da proporção da amostra

A proporção da amostra é definida como \(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \), onde \(X\) é o número de casos favoráveis ​​e \(n\) é o tamanho da amostra. Esta situação pode ser concebida como \(n\) tentativas sucessivas de Bernoulli \(X_i\), tais que \(\Pr(X_i = 1) = p\) e \(\Pr(X_i = 0) = 1-p\). Nesse contexto, o número de casos favoráveis ​​é \(\displaystyle sum_{i=1}^n X_i\), e a proporção da amostra \(\hat p\) é obtida pela média de \(X_1, X_2, ...., X_n\). Isso indica que, quando o tamanho da amostra é grande o suficiente, podemos usar a aproximação normal em virtude do Teorema do Limite Central.

A média e o erro padrão da proporção da amostra são:

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Portanto, quando o tamanho da amostra é grande o suficiente, e \(np \geq 10\) e \(n(1-p) \geq 10\), podemos aproximar a probabilidade de \(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\) por

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

É comum aplicar um fator de correção de continuidade \(cf = \frac{0.5}{n}\) para compensar o fato de que a distribuição subjacente é discreta, especialmente quando o tamanho da amostra não é suficientemente grande. Se você está procurando a distribuição amostral da média da amostra, use esta calculadora em vez de