A distribuição normal padrão

A distribuição normal padrão é uma das distribuições mais importantes porque permite que você calcule as probabilidades associadas a QUALQUER distribuição normal.

Isso mesmo: se você sabe como calcular probabilidades de distribuição normal padrão, então você pode calcular as probabilidades de qualquer distribuição normal. Por que é que?? Por causa da normalização das pontuações permite que você tenha eventos que sejam equivalentes.

O que é uma distribuição normal padrão?

Bem, essa é a primeira pergunta óbvia que precisamos responder: qual é a distribuição normal padrão. A resposta é simples, a distribuição normal padrão é a distribuição normal quando a média da população \(\mu\) é 0 e o desvio padrão da população é \(\sigma\) é 1.

As probabilidades de distribuição normal padrão desempenham um papel crucial no cálculo de todas as probabilidades de distribuição normal.

De fato, considere uma variável de distribuição normal \(X\), com população \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\). Se você quiser calcular a probabilidade do evento \( a \le X\le b\), fazemos a observação crucial de que os eventos

\[ a \le X\le b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le \frac{b - \mu}{\sigma}\] \[ \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}\]

são equivalentes. Em outras palavras, computação

\[ \Pr( a \le X\le b ) \]

é o mesmo que computação

\[ \displaystyle \Pr\left(\frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma} \right)\]

Os valores \(\displaystyle \frac{a - \mu}{\sigma}\) e \(\displaystyle \frac{b - \mu}{\sigma}\) são os escores z correspondentes dos escores brutos \(a\) e \(b\), e esses são a chave para passar de uma determinada distribuição normal para uma distribuição normal padrão.

Como calculamos a pontuação Z?

Como foi visto no exemplo anterior, para uma variável de distribuição normal \(X\), com população \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\), a pontuação z de uma determinada pontuação bruta \(x\) é calculada como:

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Exemplos

Suponha que você queira saber sua posição em termos de peso para toda a sua população. Como você encontraria a pontuação Z do peso. Bem, você precisa ter seu peso, digamos \(x = 170\) libras, e assumir que a média da população para sua população é \(\mu = 175\) libras, com um desvio padrão populacional de \(\sigma = 11\) libras.

Então, a pontuação z associada ao seu peso seria

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 175}{11} = 0.455 \]

Outras calculadoras normais

Usando outras calculadoras, você pode calcular probabilidades normais ou probabilidades normais para distribuições de amostragem , cujo final depende do cálculo de escores z e usando a distribuição normal padrão.