Álgebra Tutoriais

Como Encontrar Alcance

Aprender como encontrar o intervalo de uma função pode ser muito importante em Álgebra e Cálculo, porque lhe dá a capacidade de avaliar quais valores são alcançados por uma função. Ou seja, permite que você encontre o conjunto de todas as imagens por meio da função

A tarefa de descobrir quais pontos podem ser alcançados por uma função é muito útil. Por exemplo, você pode ter uma função de produção $q(x)$ , que fornece a quantidade de saída obtida para unidades de entrada $x$ .

Gostaríamos de saber quantas unidades de entrada são necessárias para produzir $b$ unidades de saída. Em outras palavras, precisamos encontrar $x$ para que $q(x) = b$ , que é outra maneira de perguntar se $b$ está ou não no intervalo da função $q(x)$ .

Neste tutorial, vamos nos concentrar mais na mecânica de encontrar o alcance. Para uma abordagem mais conceitual de domínio e alcance, você pode este tutorial .

A maneira algébrica de encontrar o intervalo de uma função

Da mesma forma que quando aprendemos a computar o domínio, não existe uma receita para encontrar o intervalo, realmente depende da estrutura da função $f(x)$ .

No entanto, existe uma técnica algébrica que sempre será usada. Esta é a maneira como você encontra o intervalo. Preste atenção:

Digamos que precisamos obter o intervalo de uma determinada função $f(x)$ . Então, vamos considerar um número real genérico $y$ e tentaremos resolver para $x$ a seguinte equação:

f(x) = y

Precisamos determinar para quais valores de $y$ a equação acima pode ser resolvida para $x$ . É isso. Claro, isso pode ser difícil de fazer, dependendo da estrutura da função $f(x)$ , mas é o que você precisa fazer.

Portanto, esta é a maneira algébrica, a maneira de encontrar o intervalo de uma função sem representar graficamente.

EXEMPLO 1

Encontre o intervalo da função $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ :

RESPONDA:

Prosseguimos usando a maneira algébrica: Seja $y$ um número e resolveremos para $x$ na seguinte equação: $f(x) = y$ . O valor $y$ está no intervalo se $f(x) = y$ puder ser resolvido para $x$ .

Neste caso, temos:

\large f(x) = y \Leftrightarrow \frac{x+1}{x-3} = y

\Rightarrow \,\,\,x+1 = y\left( x-3 \right)

\Rightarrow \,\,\,x+1 = yx-3y

\Rightarrow \,\,\,x-yx=-1-3y

\Rightarrow \,\,\,x\left( 1-y \right)=-1-3y

\Rightarrow \,\,\,x=\frac{3y+1}{y-1}

Portanto, quando $x$ estará bem definido? Quase para todos $y$ , exceto quando $y = 1$ , pois nesse caso temos uma divisão por $0$ . Portanto, o intervalo de $f$ neste caso é toda a linha real, exceto para 1.

Se usarmos a notação de intervalo, podemos escrever $Range(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ .

EXEMPLO 2

Encontre o intervalo da função $f(x) = x^2 - 4x + 3$ :

RESPONDA:

Novamente, continuamos usando a maneira algébrica, para que você conheça o procedimento: Seja $y$ um número e resolveremos para $x$ na seguinte equação: $f(x) = y$ . O valor $y$ está no intervalo se $f(x) = y$ puder ser resolvido para $x$ .

Neste caso, temos:

\large f(x) = y \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = y

\Rightarrow \,\,\, x^2 - 4x + 3 - y = 0 \text{ (This is a quadratic equation in x)}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3-y)}}{2(1)}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(3-y)}}{2}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12 + 4y}}{2}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = \frac{4 \pm \sqrt{4 + 4y}}{2}

\Rightarrow \displaystyle \,\,\, x = 2 \pm \sqrt{1+y}

Agora, vendo esta expressão final, quando $x$ estará bem definido? Precisamos ter que o argumento da raiz quadrada precisa ser não negativo, então precisamos:

1+y \ge 0

o que significa que $y \ge -1$ . Se usarmos a notação de intervalo, podemos escrever $Range(f) = [-1, +\infty)$ .

Neste exemplo, poderíamos ter resolvido usando o fato de que $f(x) = x^2 - 4x + 3$ é uma função quadrática e seu gráfico é uma parábola que se abre para cima.

O ponto mínimo desta parábola é alcançado no vértice. A coordenada x do vértice é:

\displaystyle x_V = \frac{-b}{2a} =\frac{-(-4)}{2(1)} =\frac{4}{2} = 2

Agora, a coordenada y do vértice é simplesmente encontrada inserindo o valor $x_V = 2$ na função quadrática:

y_V = f(x_V) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1

Como o valor mínimo atingido pela parábola é $-1$ , concluímos que o intervalo é $[-1, +\infty)$ , que é a mesma conclusão encontrada algebricamente.

O gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x + 3$ torna ainda mais claro:

Exemplo do intervalo de uma função quadrática

Podemos ver que, com base no gráfico, o mínimo é atingido em $x = 2$ , que é exatamente o que foi encontrado para a coordenada x do vértice.

O risco de usar o gráfico para encontrar o intervalo é que você pode interpretar mal os pontos críticos do gráfico e fornecer uma avaliação imprecisa de onde a função atinge seu máximo ou mínimo.

Outras estratégias para encontrar o alcance de uma função

Como vimos no exemplo anterior, às vezes podemos encontrar o intervalo de uma função apenas olhando seu gráfico.

Por exemplo, digamos que você queira encontrar o intervalo da função $f(x) = x + 3$ . O gráfico é mostrado abaixo:

Exemplo de intervalo de localização de um gráfico

O gráfico acima não mostra nenhum ponto mínimo ou máximo. Além disso, quando $x$ é grande e positivo, o valor da função também é grande e positivo. E analogamente, quando $x$ é muito negativo, o valor da função também é muito negativo.

A intuição é que a função pode assumir valores tão negativos e positivos quanto quisermos, selecionando valores $x$ grandes o suficiente (positivos ou negativos). E então, a conclusão é que o intervalo é toda a reta real, que é $(-\infty, +\infty)$ usando a notação de intervalo.

Tal análise é correta em termos de resultado, mas é frágil em termos de raciocínio. O "método gráfico" para encontrar a faixa tem esse problema: é atraente de um ponto de vista intuitivo, mas é bastante tênue em termos de conteúdo.

Normalmente, se possível, devemos preferir a forma analítica / algébrica. No exemplo, precisamos resolver para $x$ :

x + 3 = y

\Rightarrow \,\, x = y - 3

Então, há alguma restrição em $y$ para $x$ ser bem definido? De forma alguma, então, não há restrições em $y$ e a conclusão é que o intervalo é toda a linha real.

Você pode verificar este artigo que deseja saber como encontrar o domínio de uma função em vez de.

Existem muitas boas razões algébricas para encontrar o intervalo, um deles é porque é uma parte dos processos para encontrar o inverso de uma função .