O domínio de uma função é um conjunto onde uma função é bem definida. Mais especificamente, seja $f: D \rightarrow R$ uma função, o que significa que $f(a)$ está bem definido para $a \in D$. O domínio da função $f$ é o conjunto $D$.

Matematicamente, você escreverá $dom(f) = D$.

O intervalo de uma função, por outro lado, é um conjunto de valores que podem ser alcançados por meio da função.

Mais especificamente, seja $f: D \rightarrow R$ uma função, o intervalo é o conjunto de todos os valores possíveis $b \in R$ para os quais existe $a \in D$ tal que $f(a) = b$.

Freqüentemente, o intervalo de uma função é escrito como $R(f)$ ou também como $f(D)$ (que também é conhecido como o conjunto de imagens de $D$ por meio da função $f$).

É crucial conhecer o domínio de uma função porque isso nos dá um conjunto seguro de valores nos quais a função está bem definida.

Então, o intervalo é importante porque nos diz quais valores são alcançados pela função. Uma interpretação mais gráfica é esta: Um ponto $b$ está na faixa de $f$ se a linha horizontal $y = b$ cruza o gráfico da função $f(x)$.

Como calcular o Domínio, em termos práticos?

Aqui está como encontrar domínio e intervalo :

Para o domínio, você precisa primeiro encontrar os pontos onde a função NÃO está definida. As fontes de operações indefinidas são a divisão por zero ou a raiz quadrada de números negativos.

Portanto, você precisa encontrar os pontos (se houver) onde ocorrem essas operações indefinidas. E o domínio será o resto dos pontos, isto é, todos os pontos excluindo aqueles que você encontrar que causam operações indefinidas.

Como calcular o intervalo, em termos práticos?

Seja $y$ um número e resolveremos para $x$ a seguinte equação $f(x) = y$. O valor $y$ está no intervalo se $f(x) = y$ puder ser resolvido para $x$.

Portanto, é um pouco mais complicado: você precisa descobrir se precisa restringir $y$ de alguma forma para que $f(x) = y$ tenha uma solução para $x$.

EXEMPLO 1

Calcule o domínio e o intervalo da função $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

RESPONDA:

Primeiro, calculamos o domínio. Precisamos ver onde a função está bem definida. Normalmente é mais fácil começar onde NÃO está bem definido.

Portanto, neste caso, todas parecem ser operacionais válidas, exceto por uma coisa: o denominador não pode ser zero.

Nota: A chave principal para encontrar o domínio é identificar os pontos onde há divisões potenciais por zero, ou raízes quadradas potenciais de valores negativos, que são operações.

Portanto, uma função é bem definida EXCETO quando $x-1 = 0$, que ocorre quando $x = 1$. Portanto, dizemos que o domínio é toda a linha real, exceto pelo valor $1$.

Usando a notação de intervalo, escreveríamos $dom(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Agora precisamos calcular o intervalo. Normalmente, pode ser um pouco mais trabalhoso obter o intervalo do que o domínio, mas vamos lá.

Existem muitas maneiras de encontrar o intervalo: podem confiar na representação gráfica da função para fazer uma afirmação sobre o intervalo de uma função. Isso poderia funcionar, mas não é uma resposta real, apenas um palpite educado.

A outra maneira é a forma matemática formal: Seja $y$ um número e resolveremos para $x$ a seguinte equação $f(x) = y$. O valor $y$ está no intervalo se $f(x) = y$ pode ser resolvido para $x$.

Neste caso, temos:

Então, quando $x$ está bem definido? Quase para todos $y$, exceto quando $y = 1$, pois nesse caso temos uma divisão por $0$. Portanto, o intervalo de $f$ neste caso é toda a linha real, exceto para 1.

Usando a notação de intervalo, escreveríamos $R(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

EXEMPLO 2

Calcule o domínio e o intervalo da função $\displaystyle f(x) = \sqrt{x+1}$.

RESPONDA:

Lembre-se, para encontrar o domínio, procurar pontos onde processar ocorrer provavelmente (divisões por zero ou raízes quadradas de valores negativos. Não há divisões neste caso, mas preciso garantir que $x+1\ge 0$ para que não haja raízes quadradas de valores negativos., Necessário de $x \ge -1$. Usando a notação de intervalo, escreveríamos $dom(f) = [-1, +\infty)$.

Agora, para o intervalo, precisamos resolver para $x$: $\sqrt{x+1} = y$. A raiz quadrada de algo nunca é negativa, então pelo menos precisamos desse $y \ge 0$.

Além disso, ao aplicar o quadrado a ambos os lados, obtemos $x+1 = y^2$, então a solução é $x = y^2-1$. Portanto, uma única restrição que requer um $y$ é que $y \ge 0$. Portanto, usando uma notação de intervalo, escreveríamos $R(f) = [0, +\infty)$. Graficamente: