Álgebra Tutoriais

Como Encontrar o Inverso de uma Função

Muitas aplicações em Álgebra e Cálculo dependem de saber como encontrar o inverso de uma função, e esse é o tópico deste tutorial.

Em primeiro lugar, você precisa perceber que antes de encontrar o inverso de uma função, você precisa ter certeza de que esse inverso existe.

A coisa boa sobre o método para encontrar o inverso que usaremos é que encontraremos o inverso e descobriremos se ele existe ou não ao mesmo tempo.

Pronto?? Aperte o cinto então.

Como você pode saber se uma função tem um inverso?

Tecnicamente, uma função tem um inverso quando é um-para-um (injetiva) e sobrejetiva.

A condição crucial, porém, é que ele precisa ser um para um, porque uma função pode se tornar sobrejetiva restringindo seu alcance à sua própria imagem.

Como você sabe quando uma função é individual?

Bem, existem pelo menos algumas maneiras. Uma é a forma algébrica e a outra é a forma gráfica (aposto que sei qual você prefere, hein?)

Via Algébrica

Para a forma algébrica, para que uma função $f$ seja um-para-um, precisamos provar que toda vez que $f(x) = f(y)$ , precisamos ter aquele $x = y$ .

Em outras palavras, precisamos provar que

f(x) = f(y) \,\,\Rightarrow \,\, x = y

Forma Gráfica

Para a forma gráfica, precisamos usar o teste de linha horizontal : Para qualquer linha horizontal que desenhamos, o gráfico da função cruza no máximo uma vez essa linha horizontal.

Graficamente:

Ele passa no teste da linha horizontal

Exemplo de uma função que passa no teste da linha horizontal

Não passa no teste da linha horizontal

Encontrando o Inverso

Encontrar o inverso de uma determinada função $f(x)$ requer que você resolva uma equação.

Na verdade, você tem a equação $f(x) = y$ , você toma $y$ como um determinado número e precisa resolvê-lo para $x$ e precisa ter certeza de que a solução é ÚNICA.

Isso é tudo. Fácil, certo ??

Agora, para as etapas práticas:

Passo 1: Para um dado $y$ , defina a equação:

f(x) = y

e resolva para $x$ .

Passo 2: Certifique-se de prestar atenção para ver para qual $y$ , existe realmente uma solução que é única.

Etapa 3: Depois de resolver $x$ em termos de $y$ , aquela expressão que depende de $y$ será seu $f^{-1}(y)$ .

Passo 4: Mude o nome da variável de $y$ para $x$ e você terá sua função inversa $f^{-1}(x)$ .

EXEMPLO 1

Encontre o inverso da função $f(x) = \sqrt x$

RESPONDA:

Então, tomamos $y$ como dado e precisamos resolver $f(x) = y$ , que neste caso corresponde a resolver

\sqrt x = y

Observe que a raiz quadrada é sempre não negativa, portanto, para ter uma solução, precisamos que $y\ge 0$ .

Aplicando o quadrado a ambos os lados, obtemos que

\Rightarrow \,\, (\sqrt x)^2 = y^2

\Rightarrow \,\, x = y^2

Então, $f^{-1}(y) = y^2$ , e trocando o nome da variável, temos a função inversa é

f^{-1}(x) = x^2

para $x\ge 0$ .

EXEMPLO 2

Encontre o inverso da função $f(x) = \displaystyle \frac{x}{x+1}$ , para $x > -1$

RESPONDA:

Novamente, consideramos $y$ como dado e agora precisamos resolver para $x$ a equação $f(x) = y$ . Então nós temos

\displaystyle \frac{x}{x+1} = y

\Rightarrow \,\, x = y(x+1)

\Rightarrow \,\, x = yx + y

\Rightarrow \,\, x - yx = y

\Rightarrow \,\, x(1 - y) = y

\Rightarrow \displaystyle \,\, x = \frac{y}{1-y}

Então, $f^{-1}(y) = \displaystyle \frac{y}{1-y}$ , e trocando o nome da variável, temos a função inversa é

f^{-1}(x) = \displaystyle \frac{x}{1-x}

Mais sobre como encontrar o inverso de uma função

Uma das propriedades cruciais da função inversa $f^{-1}(x)$ é que $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Pense no que esta coisa está dizendo. Algo como: "A função avaliada no inverso dá a identidade".

Ou em outras palavras, avaliar o inverso por meio da função é como não fazer nada com o argumento.

Ou como algumas pessoas gostam de dizer: A função pode cancelar o inverso de uma forma.

Você escolhe sua versão.

Como encontrar o inverso de uma função quadrática? Você pode?

Na verdade, a resposta é: depende. Isso ocorre porque se considerarmos uma função quadrática em toda a linha real , então não é 1 para 1, pois não passa no teste da linha horizontal, como você pode ver no gráfico abaixo:

Funções quadráticas não passam no teste de linha horizontal

Por não passar no teste de linha horizontal, podemos ver que para um dado $y$ há mais de um valor $x$ , portanto $f(x) = y$ , portanto não podemos "resolver" para $x$ , pois há mais de um $x$ .

MAS, se você restringir o domínio e considerar dizer apenas os números positivos, obteremos o seguinte:

Função quadrática em um domínio restrito

que passa no teste da linha horizontal e, portanto, a função quadrática é invertível.

MORAL DA HISTÓRIA: Para verificar se algo é invertível, NÃO se trata apenas da função. É sobre a função E seu Domínio e alcance .

Como descobrir rapidamente o gráfico de funções inversas

Há sempre a necessidade de avaliar se a função $f(x)$ é ou não invertível (verificando se é um-para-um ou não). Mas, supondo que você saiba que é invertível, existe uma maneira fácil de encontrar o gráfico do inverso.

Primeiro, represente graficamente a função dada $f(x)$ .

Em seguida, represente graficamente a linha de 45 graus $y = x$ .

Para representar o gráfico de $f^{-1}(x)$ , tudo o que você precisa fazer é refletir o gráfico de $f(x)$ através da linha de 45 graus $y = x$ , como um espelho.