Qual é a soma dos quadrados?

O conceito de soma de quadrados é muito útil, que aparece em quase todos os lugares em Estatística, mas as pessoas não costumam ter tempo para explicar o que é. Assim, começando do início, a soma dos quadrados geralmente se refere à soma dos desvios quadrados em relação à média, para uma amostra de dados.

Matematicamente, a fórmula para definir a soma dos quadrados associados à amostra \(\{X_1, X_2, ..., X_n \}\) é:

\[ SS = \displaystyle \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

Relação entre a soma dos quadrados e a variância da amostra

Por que a ideia da soma dos quadrados \((SS)\) é tão útil em Estatística? Bem, principalmente por um motivo: a soma dos quadrados é uma forte indicação do nível de variabilidade de uma amostra. E está fortemente relacionado ao conceito de variância da amostra. Na verdade, a variação da amostra \(s^2\) é calculada como:

\[s^2 = \displaystyle \frac{SS}{n-1}\]

Então, você pega a soma dos quadrados \(SS\), divide pelo tamanho da amostra menos 1 (\(n-1\)) e tem a variância da amostra. Isso é neato.

The idea of sum of squares also extends to linear regression, where the regression sum of squares and the residual sum of squares determines the percentage of variation that is explained by the model.

Usando o Excel para calcular a soma dos quadrados

Como calcular a soma dos quadrados no Excel? Você provavelmente deve colocar seus dados em uma coluna e rotular essa coluna como "X", então calcular a média para a amostra e criar uma coluna rotulada como "X - Xbar" que calcula o valor de uma célula correspondente menos a média. Em seguida, use outra coluna (próxima à anterior) com o rótulo "(X - Xbar) ^ 2", onde você quadrará as células da coluna à esquerda. Finalmente, a soma dos quadrados é calculada somando os valores na coluna. "(X - Xbar) ^ 2".

O conceito de soma de quadrados tem aplicações para o teste t para uma amostra , para o teste t para duas responsáveis e para regressão , entre muitos outros.