Mais sobre o método de eliminação para resolver sistemas lineares

Você pode resolver um sistema de equações lineares usando diversas alternativas, cada uma com suas próprias vantagens (e desvantagens).

Quando você tem duas equações e duas variáveis, normalmente você pode usar o método gráfico para resolver o sistema que é essencialmente o método de encontrar soluções encontrando a interseção entre duas linhas.

Ou você pode usar o método de substituição para resolver sistemas , que tenta resolver primeiro a partir de uma variável em termos da outra para, em seguida, usar essa substituição para substituir na outra equação e resolver uma variável.

Como resolver o sistema de equações por substituição?

A abordagem é muito simples: 1) Escolha uma das duas equações, para a qual seja fácil de resolver para qualquer \(x\) ou \(y\), e resolva para essa variável, em termos da outra variável.

Muitas vezes as equações são dadas como por exemplo "\(x = 2y + 3\)" onde já está resolvido para \(x\) ou por exemplo "\(y = 2x + 3\)" onde já está resolvido para \(y\)

2) Agora que você resolveu uma variável em uma das equações, use essa variável para a qual você resolveu e coloque-a na outra equação.

3) Esta equação será em termos da outra variável (não aquela para a qual você resolveu originalmente), e então você a resolverá e obterá um resultado numérico.

4) Com o resultado numérico encontrado para a outra variável, retorne a variável original que você resolveu e insira o valor que você acabou de resolver numericamente

Esta é uma calculadora de eliminação gaussiana

Não exatamente, mas a ideia é a mesma: vá eliminando variáveis encontrando equações equivalentes (amplificando) e adicionando a isso para reduzir o número de variáveis.

Para um sistema 2x2, o método de eliminação escolhe uma variável para eliminar usando uma transformação e operação algébrica apropriadas.

Tecnicamente, você pode aplicar este método para resolver 3 equações usando um cálculo de eliminação, mas esta calculadora é especificamente para sistemas 2x2.

Calculadora de método de eliminação com etapas

Como resolver um sistema de equações por eliminação? Esta calculadora mostrará todas as etapas necessárias para resolver um sistema de equações usando o método de eliminação.

O passo crucial é determinar qual variável será eliminada, pois a escolha correta da variável pode simplificar significativamente o cálculo.

Quais são as etapas para o método de eliminação?

1) Primeiro, decida qual variável você eliminará.

2) Segundo, decida como você eliminará, de modo que você amplifique e opere as equações para conduzir a eliminação.

3) Terceiro, depois de eliminar uma das variáveis, resolva para a outra variável .

4) Quarto e último, uma vez que você tenha resolvido uma das variáveis, coloque-a em qualquer uma das equações (a mais fácil) para que você resolva para a variável restante .

Exemplo: sistema de eliminação de equações com etapas

Suponha que você tenha o seguinte sistema de equações:

\[\begin{matrix} \displaystyle 2x+2y & = & 5\\\\\displaystyle x-y & = & 2 \end{matrix} \]

Use o método de substituição para resolver o sistema de equações lineares acima.

Solução:

Etapa 1: selecione a variável para eliminação

Multiplicando a segunda equação por \(2\) obtemos:

\[\begin{matrix} 2x+2y & = & 5\\\\2x-2y & = & 4 \end{matrix} \]

Agora, uma vez que amplificamos as equações originais, subtrair a primeira equação da segunda equação leva a

\[2x-2y-\left(2x+2y\right)=4-5\] \[\Rightarrow -4y=-1\]

Da equação acima encontramos diretamente que dividindo ambos os lados da equação por \(\displaystyle -4\) obtemos

\[y = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}\] Etapa 2: conecte o valor encontrado na outra equação

Agora, nós conectamos de volta \(\displaystyle y = \frac{1}{4}\) na outra equação

\[2x+2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)=5\] \[\Rightarrow 2x+\frac{1}{2}=5\]

Colocando \(x\) no lado esquerdo e as constantes no lado direito, obtemos

\[\displaystyle 2 x = 5 - \frac{1}{2}\] \[\Rightarrow \displaystyle 2x = \frac{9}{2}\]

Agora, resolvendo para \(x\), dividindo ambos os lados da equação por \(2\), obtém-se o seguinte

\[\displaystyle x = \displaystyle \frac{ \frac{9}{2}}{ 2}\]

e simplificando, finalmente obtemos o seguinte

\[\displaystyle x=\frac{9}{4}\] Etapa 3: verifique as soluções encontradas voltando às equações originais

Vamos verificar se as soluções encontradas realmente satisfazem as equações.

We plug \(\displaystyle x = \frac{9}{4}\) and \(\displaystyle y = \frac{1}{4}\) into the provided equations and we get