Como usar esta calculadora de função linear inversa

A ideia de encontrar a inversa de uma função é um conceito muito importante em Álgebra. Existe uma definição formal para a função inversa, que assume diferentes formas.

Uma maneira comum de definir a função inversa para uma determinada função $y = f(x)$ é que $f^{-1}(x)$ é a inversa se $f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$, para todo $x$ em um conjunto apropriado.

Agora, calcular a inversa de uma função em geral não é um exercício algébrico necessariamente simples, pois normalmente envolve Resolvendo para x a partir da função original $y = f(x)$, que pode ser algebricamente difícil ou impossível.

Mas, quando você lida com um Função linear da forma $y = ax + b$, então fica um pouco mais simples Resolva para x e finalmente encontre o inverso.

Como encontrar a inversa de uma função linear?

Primeiro, você começa com uma função linear válida da forma $y = ax + b$. Sua primeira tarefa é Resolva para x :

$$ax = y-b$$ $$\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}$$

Agora, a observação afiada que você fará é, "o que acontece se $a = 0$", e você estará certo sobre isso. Há um problema quando $a = 0$, nesse caso você não pode resolver para $x$ e não há inversa.

De fato, quando $a = 0$ verifica-se que a função inicial era na verdade $f(x) = b$, que é uma constante, que não é injetiva, portanto não há como vincular imagens e pré-imagens de forma exclusiva.

Mas estamos todos no negócio se $a \ne 0$. Agora, você substitui $x$ por $f^{-1}(x)$ e $y$ por $x$, e o que você tem é a função inversa real:

$$\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$$

Como usar esta calculadora

A maneira de encontrar a inversa de uma função linear com passos é simplesmente colocar uma função linear válida da forma $y = ax + b$.

Se você fornecer uma função linear válida, a calculadora mostrará todos os passos necessários para chegar ao inverso e também obterá um gráfico da função original e sua inversa, se a inversa existir.

Observe que esta calculadora funciona apenas para funções lineares. Calcular o inverso de funções que não são lineares pode ser mais difícil e nem sempre é possível.

Exemplo

Encontre a função inversa da seguinte função linear $y = 3x - 2$.

Resposta:

Para encontrar a função inversa da função linear fornecida, são necessários os seguintes passos.

Passo 1 - Resolvendo para x : O primeiro passo para encontrar o inverso da equação linear fornecida é resolver para $x$:

Foi-nos fornecida a seguinte equação:

$$\displaystyle y=3x-2$$

Colocando $x$ no lado esquerdo e $y$ e a constante no lado direito obtemos

$$\displaystyle 3x = y + 2$$

Agora, resolvendo para $x$, obtém-se o seguinte

$$\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

e simplificando todos os termos que precisam de simplificação, finalmente obtemos o seguinte

$$\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Portanto, com base na equação fornecida, concluímos que o resultado da resolução de $x$ da equação dada é $\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$.

Passo 2 - Mudando os papéis das variáveis : Agora, para encontrar a função inversa, basta trocar o valor de $y$ por $x$ e o valor de $x$ por $f^{-1}(x)$ na equação anterior, o que leva para:

$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$$

Conclusão : Com base na equação fornecida, verifica-se que o inverso da função linear original $y=3x-2$ que foi passada é $\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$.