Como usar esta calculadora de função linear inversa

A ideia de encontrar a inversa de uma função é um conceito muito importante em Álgebra. Existe uma definição formal para a função inversa, que assume diferentes formas.

Uma maneira comum de definir a função inversa para uma determinada função \(y = f(x) \) é que \(f^{-1}(x)\) é a inversa se \(f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x\), para todo \(x\) em um conjunto apropriado.

Agora, calcular a inversa de uma função em geral não é um exercício algébrico necessariamente simples, pois normalmente envolve Resolvendo para x a partir da função original \(y = f(x) \), que pode ser algebricamente difícil ou impossível.

Mas, quando você lida com um Função linear da forma \(y = ax + b\), então fica um pouco mais simples Resolva para x e finalmente encontre o inverso.

Como encontrar a inversa de uma função linear?

Primeiro, você começa com uma função linear válida da forma \(y = ax + b\). Sua primeira tarefa é Resolva para x :

\[ax = y-b\] \[\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}\]

Agora, a observação afiada que você fará é, "o que acontece se \(a = 0\)", e você estará certo sobre isso. Há um problema quando \(a = 0\), nesse caso você não pode resolver para \(x\) e não há inversa.

De fato, quando \(a = 0\) verifica-se que a função inicial era na verdade \(f(x) = b\), que é uma constante, que não é injetiva, portanto não há como vincular imagens e pré-imagens de forma exclusiva.

Mas estamos todos no negócio se \(a \ne 0\). Agora, você substitui \(x\) por \(f^{-1}(x)\) e \(y\) por \(x\), e o que você tem é a função inversa real:

\[\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\]

Como usar esta calculadora

A maneira de encontrar a inversa de uma função linear com passos é simplesmente colocar uma função linear válida da forma \(y = ax + b\).

Se você fornecer uma função linear válida, a calculadora mostrará todos os passos necessários para chegar ao inverso e também obterá um gráfico da função original e sua inversa, se a inversa existir.

Observe que esta calculadora funciona apenas para funções lineares. Calcular o inverso de funções que não são lineares pode ser mais difícil e nem sempre é possível.

Exemplo

Encontre a função inversa da seguinte função linear \(y = 3x - 2\).

Resposta:

Para encontrar a função inversa da função linear fornecida, são necessários os seguintes passos.

Passo 1 - Resolvendo para x : O primeiro passo para encontrar o inverso da equação linear fornecida é resolver para \(x\):

Foi-nos fornecida a seguinte equação:

\[\displaystyle y=3x-2\]

Colocando \(x\) no lado esquerdo e \(y\) e a constante no lado direito obtemos

\[\displaystyle 3x = y + 2\]

Agora, resolvendo para \(x\), obtém-se o seguinte

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

e simplificando todos os termos que precisam de simplificação, finalmente obtemos o seguinte

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

Portanto, com base na equação fornecida, concluímos que o resultado da resolução de \(x\) da equação dada é \(\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\).

Passo 2 - Mudando os papéis das variáveis : Agora, para encontrar a função inversa, basta trocar o valor de \(y\) por \(x\) e o valor de \(x\) por \(f^{-1}(x)\) na equação anterior, o que leva para:

\[\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]

Conclusão : Com base na equação fornecida, verifica-se que o inverso da função linear original \(y=3x-2\) que foi passada é \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).