Calcolatore della formula della distanza

La distanza tra due punti nel piano euclideo è uno dei concetti base della Geometria. Tuttavia non è un concetto statico o universale, poiché in matematica esistono molte potenziali misure di "distanza".

In effetti, diversi tipi di geometria possono utilizzare diversi tipi di distanze. E tutte queste geometrie, inclusa la geometria euclidea, definiscono distanze logiche e coerenti e mantengono tutte le proprietà previste per una distanza.

Come si calcola la distanza?

Questo calcolatore si basa sulla distanza per la geometria euclidea. Supponiamo di avere due punti \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\), quindi la formula della distanza viene calcolata come segue, utilizzando la seguente formula:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \]

Questa è comunemente la formula della distanza tra due punti, che ha l'interpretazione più comune come l'effettiva distanza fisica percepita dai nostri sensi.

Perché calcoliamo la distanza?

La distanza è una delle nozioni geometriche più basilari che gli esseri umani hanno, e il concetto di distanza è stato il fondamento di molte delle idee della Geometria, che a sua volta dà origine alla matematica come disciplina.

Il calcolo delle distanze ha a che fare con tanti aspetti pratici, ad esempio quanto sono distanti le cose, soprattutto quando le cose non sono molto vicine, per le quali una chiara nozione di distanza gioca un ruolo cruciale.

Spiegazione della formula della distanza

L'espressione sopra definisce come utilizzare la formula per i due punti indicati. Ciò che si fa è semplice: si sottraggono la prima componente del punto 1 e la prima componente del punto 2 e il risultato viene elevato al quadrato.

Lo stesso si fa per il secondo punto: si sottraggono la seconda componente del punto 1 e la seconda componente del punto 2, e il risultato viene elevato al quadrato. Questi due valori al quadrato vengono sommati e si ottiene la radice quadrata del risultato. Il numero finale che ottieni è la distanza

Come risolvi i problemi di distanza?

Non esiste una risposta univoca a questa domanda poiché i problemi di distanza possono assumere forme diverse. In genere, ti verranno assegnati due punti e ti verrà chiesto di farlo calcolare la distanza . Questo è probabilmente il tipo più semplice che otterrai.

Ma poi puoi andare forte quanto vuoi. Ad esempio, dai ai cerchi (con il corrispondente equazioni del cerchio ), e chiedere quali punti nei cerchi si trovano ad una certa distanza fissa, data \(D\). Un problema del genere è sicuramente più difficile del precedente.

Le domande sulla formula della distanza possono presentarsi in tutte le forme e forme e possono essere difficili come puoi immaginare. Naturalmente in un corso base probabilmente applicherai solo direttamente la formula.

Qual è un esempio di distanza?

Le distanze geometriche sono gli esempi più chiari di distanze. Ad esempio, se hai a quadrato di lato 2 che ha l'angolo in basso a sinistra all'origine, e tu lo desideri calcolare la distanza tra l'angolo in basso a sinistra e l'angolo in alto a destra, calcoli:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \displaystyle \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \displaystyle \sqrt{2^2 + 2^2} = \displaystyle \sqrt{8} = \displaystyle 2 \sqrt{2} \]

Esistono altri esempi di distanza, con interpretazioni simili, come la distanza che trovi in Fisica. In effetti, questi sono strettamente correlati, ma ci sono molte sottigliezze proprio lì.

In che modo questo è legato alla formula del punto medio?

Il Formula del punto medio è strettamente correlato alla formula della distanza, poiché il punto medio è un punto particolare con la proprietà speciale che la distanza da uno dei punti ad esso è uguale alla metà della distanza totale.

Esempi

Supponiamo di avere due punti \((1, 3)\) e \((4, 8)\), quindi la formula della distanza viene calcolata come segue:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 8)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

La radice quadrata sopra \(\sqrt 34\) non può essere ulteriormente semplificata, quindi la lasciamo così. A volte ti verrà chiesto di fornire una risposta decimale approssimativa, che in questo caso sarebbe \(\sqrt 34 \approx 5.8310 \).

Altri esempi

Come gestire la formula della distanza con le frazioni? È tutto lo stesso meccanico. Supponiamo di avere due punti \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) e \((\frac{3}{5}, \frac{3}{4})\), quindi la formula della distanza viene calcolata come segue:

\[ D = \displaystyle \sqrt{ \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{100} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{50}} \approx 5.8310 \]

La distanza deve essere bidimensionale?

Non necessariamente. In realtà possiamo avere due punti in uno spazio n-dimensionale: \(u = (u_1, u_2, ..., u_n)\) e \(v = (v_1, v_2, ..., v_n)\). La distanza viene ora calcolata elevando al quadrato le differenze di tutti i componenti, sommandoli e ricavando la radice quadrata:

\[ D = \displaystyle \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + + (u_n - v_n)^2} \]

La distanza ha qualcosa a che fare con pitagora

Puoi scommetterci! Come il tuo intuito ti dice correttamente, la radice quadrata della somma dei quadrati assomiglia molto a quella di Teorema Di Pitagora e anche cosa fai quando tu risolvere triangoli .

Questo perché stiamo definendo la distanza tra due punti nel modo pitagorico della geometria, come la dimensione dell'ipotenusa di un triangolo in cui i vertici sono definiti dai punti dati.

In alternativa, puoi ottenere questi due punti e calcolare il punto medio .