Il circolo unitario
Il cerchio unitario è uno degli oggetti più riconoscibili in matematica ed è molto trasversale a diverse materie matematiche, tra cui Algebra, Calcolo, Geometria e Trigonometria.
In effetti, il cerchio unitario è uno dei “laboratori” più utilizzati per comprendere molti concetti matematici. La circonferenza unitaria incrocia l'Algebra (con l'equazione della circonferenza), il Calcolo (con pendenze, rette tangenti e aree), la Geometria (con angoli, triangoli e Teorema di Pitagora) e la Trigonometria (seno, coseno, tangente) in un unico luogo.
Cos'è un cerchio unitario?
Il nome lo dice chiaramente: La circonferenza unitaria è una circonferenza di raggio \(r=1\), che per comodità si assume centrato nell'origine \((0, 0)\). Si noti che stiamo parlando del caso bidimensionale.
Angoli e circonferenza unitaria
Il cerchio unitario, o un cerchio di qualsiasi raggio, è un modo molto pratico di lavorare con gli angoli. Ricordiamo che la misura di un angolo è proporzionale alla misura della circonferenza del cerchio su cui si estende l'angolo.
Ad esempio, se un angolo si estende per un quarto della circonferenza e la sua origine è la stessa del centro del cerchio, la misura dell'angolo è un quarto della misura di un angolo completo, che è 360/4 = 90 O se misurato in gradi, o \(2\pi/4 = \pi/2\) se misurato in radianti
.Ci sono altre circostanze in cui l'origine dell'angolo non coincide con il centro del cerchio, come nel caso del grafico seguente:
Funzioni trigonometriche e circonferenza unitaria
Usare la circonferenza unitaria è molto utile per lavorare con le funzioni trigonometriche. Infatti, se abbiamo un punto \((x,y)\) in una circonferenza di raggio \(r\), allora abbiamo che
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]dove \(\alpha\) è l'angolo mostrato nella figura seguente:
Ma quando \(r = 1\), cioè quando il raggio è 1 (come è il caso del cerchio unitario), troviamo che
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
Pertanto, l'operazione con le funzioni trigonometriche è molto più semplice quando il raggio di un cerchio è 1, e allora tutto diventa molto più visivo. E possiamo usare regole mnemoniche come "il seno di un angolo è il lato opposto" e "il coseno di un angolo è il lato adiacente".
L'equazione della circonferenza unitaria
Quindi la grande domanda è: qual è la formula del cerchio unitario? Per una circonferenza unitaria centrata nell'origine, l'equazione che soddisfa qualsiasi punto \((x, y)\) su di essa è:
\[\large x^2 + y^2 = 1\]Qualsiasi coppia \((x, y)\) che appartiene ad un cerchio di raggio 1 deve soddisfare quanto sopra. Se il punto \((x, y)\) non soddisfa quanto sopra, allora non appartiene al cerchio.
Qual è la formula del cerchio unitario in generale?
La formula sopra è solo il caso più semplice di circonferenza unitaria centrata nell'origine. Quando si desidera calcolare la formula del cerchio in generale, per il cerchio unitario centrato in \((x_0, y_0)\), è necessario utilizzare la seguente formula:
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]Per questo caso più generale, puoi usare this Calcolatrice dell'equazione del cerchio , che mostra tutti i passaggi su come arrivare alla formula del cerchio da un'equazione quadratica adatta.
Come si memorizza velocemente il cerchio unitario?
Sebbene non sia strettamente necessario, potrebbe rivelarsi utile memorizzare angoli notevoli della circonferenza unitaria. Con la facilità di accesso delle calcolatrici scientifiche, sembra un esercizio un po' inutile, ma in questo modo aiuta sicuramente la tua comprensione del cerchio unitario.
Naturalmente non potrete imparare TUTTI gli angoli notevoli (o forse sì), ma almeno è una buona idea conoscere i multipli più notevoli di \(\pi\), come \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), ecc.
Perché si chiama circonferenza unitaria?
La risposta è semplice: si chiama circonferenza unitaria perché innanzitutto è un cerchio e, in secondo luogo, ha raggio pari a 1. Quindi la unità O unitario parte deriva dal fatto che il raggio è 1.
In Algebra, Calcolo e Geometria Analitica c'è la necessità di utilizzare la qualificante "unità", perché non tutti i cerchi di cui ci occupiamo sono effettivamente cerchi unitari. In trigonometria, tuttavia, quando si menziona un cerchio, di solito si parla per impostazione predefinita del cerchio unitario, a meno che non sia esplicitamente specificato.
La circonferenza unitaria è infinita?
Esistono diversi modi per rispondere a questa domanda e la risposta varia. Nel senso di area, il cerchio unitario non è infinito, perché ha un'area pari a \(\p\).
Ora, si potrebbe sostenere che il cerchio unitario è formato da un numero infinito di punti, il che è vero, e ciò implicherebbe che sia "infinito" in un certo senso.
Quindi la risposta dipende davvero da cosa definisci "infinito".
ESEMPIO 1
Il punto \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) appartiene alla circonferenza unitaria?.
Risposta:
Dobbiamo verificare che il punto soddisfi l'equazione definita sopra. Noi abbiamo:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]Quindi in questo caso il punto \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) appartiene alla circonferenza unitaria
Esempio 2
Il punto \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) appartiene alla circonferenza unitaria?.
Risposta:
Dobbiamo verificare se il punto soddisfa o meno l'equazione sopra definita. Noi abbiamo:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]Quindi in questo caso il punto \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) NON appartiene alla circonferenza unitaria
Maggiori informazioni sul circolo unitario
Una delle domande che ricevo sempre è se l'equazione della circonferenza unitaria descrive o meno una funzione. La risposta è no. L’equazione della circonferenza unitaria, infatti, definisce invece una relazione.
Ci sono almeno due modi per saperlo. Quello preferito dagli studenti è il “test della linea verticale”. Abbiamo il seguente grafico:
Guarda il grafico sopra e possiamo vedere che abbiamo questa linea verticale che attraversa il grafico in più di un punto. La conclusione è che il grafico rappresenta una relazione, non una funzione.
Ora, se vuoi sapere cosa succede quando il raggio non è 1 e il cerchio non è centrato nell'origine, consulta il nostro tutorial sulle regole generali equazione del cerchio , in cui viene trattato il caso generale.
Come si converte una circonferenza unitaria?
Una circonferenza unitaria può essere convertita modificandone il centro e modificandone il raggio. Naturalmente così facendo si arriva a qualcosa che non è un cerchio unitario, ma un circolo generale Invece.
Questi cambiamenti nel centro e nel raggio possono essere visti geometricamente come una traslazione e come uno stiramento, rispettivamente.
La funzione unitaria e le funzioni trigonometriche
La circonferenza unitaria è strettamente collegata a tutte le funzioni trigonometriche. Seno e coseno sono rappresentati direttamente dai lati dei triangoli con i vertici sul cerchio. Inoltre, la misura degli angoli in radianti crea un'associazione precisa con l'angolo e la lunghezza dell'arco generato.
I radianti sono le misure angolari naturali dei cerchi, anche se alcune persone tendono a sentirsi più a proprio agio nell'usare i gradi. Usa questo conversione da radianti a gradi per effettuare le conversioni desiderate se ti senti più a tuo agio con i gradi anziché con i radianti