Ulteriori informazioni su questa calcolatrice a matrice invertibile con passaggi

Il concetto di inversa di una matrice compare in molti contesti dell'Algebra. Innanzitutto, per quanto riguarda le matrici, l'idea è quella di poterle utilizzare in modo simile a come faremmo con i numeri. E in effetti ci sono ragionevoli operazioni di somma , sottrazione e moltiplicazione di matrici .

Ma che dire della "divisione" delle matrici? Quando abbiamo un numero, ad esempio 3, posso definire l'inverso (moltiplicativo) di quel numero, che potrei scrivere come \(3^{-1}\), o più comunemente come \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

Una proprietà cruciale di questo inverso è che, se moltiplicato per il numero originale, dà come risultato 1, ovvero \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\).

Come identificare una matrice invertibile

• Trova che il suo determinante è diverso da zero
• Ottenere il suo forma a riga-echelon e otteniamo una matrice diagonale senza zeri
• Scoprire che il RREF della matrice è l'identità

Come si definisce l'inversa di una matrice?

Per le matrici, il ruolo di "1" è svolto dalla matrice identità \(I\), e data una matrice \(A\), diremo che \(A^{-1}\) è l'inversa di \(A\) se \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\).

In altre parole, l'inversa di una data matrice \(A\) è una matrice che ha la proprietà che moltiplicando tale matrice per la matrice originale , porta alla matrice identità I.

Come si calcola la matrice inversa?

Esistono moltissimi modi diversi per calcolare l'inversa di una data matrice \(A\). Uno dei metodi più utilizzati è il metodo formula dell'adjoint che si basa sul calcolo di un intero gruppo di determinanti di sottomatrici ottenute rimuovendo una riga e una colonna di \(A\).

Si noti che questa calcolatrice inversa offre anche l'opzione di calcolare l'inversa utilizzando il metodo di riduzione gaussiana per calcolare la forma ridotta di riga echelon di una matrice aumentata.

Esiste anche il metodo del pivoting per convertire la matrice iniziale \(A\) nell'identità utilizzando matrici elementari, tenendo traccia della moltiplicazione di tali matrici elementari, che risulta essere l'inversa.

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

Esistono anche metodi di invertibilità basati su alcune decomposizioni e, in definitiva, le matrici con una struttura utile specifica possono essere elaborate più velocemente in termini di ricerca della loro inversa utilizzando metodi specializzati, applicabili solo a determinate strutture.

Qual è la formula della matrice inversa?

Utilizzando la formula dell'adjoint, troviamo che la formula per l'inversa di una matrice \(A\) è:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

A prima vista sembra semplice! Ma non è così semplice quando le dimensioni della matrice sono grandi. Infatti, la formula di cui sopra indica che per trovare l'inversa è necessario calcolare il determinante della matrice e anche la matrice adiacente.

A differenza di quanto le apparenze possano suggerire, questa operazione potrebbe essere molto laboriosa se la dimensione della matrice è grande (come \(n > 4\)). Quindi, è bene avere una formula compatta, ma questo non significa necessariamente che non sarà laborioso.

Come si può invertire una matrice 2x2?

Innanzitutto, è necessario assicurarsi che \(\det(A) \ne 0\). Supponendo di avere una matrice 2x2, utilizzeremo la formula dell'adjoint. Sia

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

quindi utilizzando la formula dell'adjoint otterremo

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Per la matrice generale 2x2 \(A\) il suo determinante è

\[ \det(A) = ad - bc\]

Inoltre, la matrice dei cofattori è

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Ora dobbiamo trasporre la matrice \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Finalmente abbiamo la formula dell'inverso:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Abbastanza facile, eh? Vuoi provare a fare 3x3?

Come si trova l'inversa di una matrice 3x3?

Il primo requisito, come per tutte le matrici, è calcolare il determinante e assicurarsi che \(\det(A) \ne 0\). Quindi, è necessario richiamare la generica formula dell'adjoint

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

dove \(C\) è la matrice dei cofattori. Se si dovesse scrivere esplicitamente, si otterrebbe qualcosa di simile: per \(A\) una generica matrice 3x3:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

otterremmo

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Per la matrice generale 3x3 \(A\) il suo determinante è

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

Inoltre, la matrice dei cofattori è

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

Ora dobbiamo trasporre la matrice \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

Finalmente abbiamo la formula dell'inverso:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

Siete pronti a memorizzarlo? Certo che no. Non che dobbiate farlo, in realtà. Questo è solo un assaggio di quanto diventa complicato quando si cerca di ottenere una formula generale per una semplice matrice 3x3. Diventa molto complicato e piuttosto inutile per \(n > 3\).

È quindi molto più pratico applicare una serie di passaggi per trovare l'inversa:

Quali sono i passaggi da seguire per calcolare l'inversa di una matrice?

Fase 1: Calcola il determinante della matrice A data. Si noti che questa operazione potrebbe essere dispendiosa in termini di calcolo per matrici di grandi dimensioni, quindi si consiglia di calcolare il determinante in base alla riga/colonna con il maggior numero di zeri.

Passo 2: Calcolare la matrice cofattrice associata alla matrice A. È necessario calcolarla componente per componente, calcolando il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando la riga i e la colonna j, moltiplicata per il segno \((-1)^{i+j}\). Anche in questo caso, quando si calcolano le sottodeterminanti bisogna scegliere la riga/colonna con il maggior numero di zeri.

Fase 3: Una volta ottenuto il determinante della matrice originale e della matrice cofattrice, si divide ogni componente della matrice cofattrice per il determinante e il risultato è infine la matrice inversa.

Come utilizzare la calcolatrice inversa

1. Specificare la dimensione della matrice
2. Digitare i numeri che determinano la matrice
3. Selezionare il metodo che si preferisce utilizzare per calcolare l'inversa: "Formula dell'Addizione" o "Forma Echelon ridotta"
4. Cliccare su "Calcola l'inverso"

Esempio: Calcolo dell'inversa di una matrice data

Question: Si consideri la seguente matrice:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Trovare la sua inversa utilizzando la formula dell'adjoint.

Soluzione: Dobbiamo calcolare l'inverso di una matrice \(3 \times 3\) che ci è stata fornita.

Passo 1: Calcolo del determinante della matrice

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Poiché \(\det(A) = 2 \ne 0\), concludiamo che la matrice è invertibile e possiamo continuare con il calcolo dell'inversa della matrice data \(A\).

Fase 2: calcolo della matrice dei cofattori

Per prima cosa calcoliamo la matrice dei minori. Per definizione, la matrice dei minori \(M\) è definita dalla formula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

dove in questo caso \( A^{i,j}\) è la matrice \(A\) dopo aver eliminato la riga \(i\) e la colonna \(j\).

Pertanto, sulla base della matrice \(A\) fornita, si ottengono i seguenti coefficienti della matrice dei minori:

Per \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

Per \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Per \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Per \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

Per \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Per \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

Riassumendo, la matrice dei minori è:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

Ora, possiamo calcolare gli elementi della matrice dei cofattori \(C\) utilizzando la formula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formula precedente può essere utilizzata direttamente perché i minori sono già noti. Otteniamo

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

Riassumendo, la matrice dei cofattori è:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Fase 3: Calcolo della matrice Adjoint dalla matrice del cofattore

A questo punto, è sufficiente trasporre la matrice cofattrice che abbiamo trovato per calcolare la matrice adiacente. Otteniamo:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Fase 4: Calcolo dell'inverso dalla matrice dei cofattori

Infine, è necessario moltiplicare \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) per ogni componente della matrice adiacente. Otteniamo quindi:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo dell'inversa della matrice \(A\).