calcolatore della forma a file echelon

La forma echelon a righe è un tipo di struttura che una matrice può avere, simile a quella triangolare, ma è più generale e si può usare l'idea della forma echelon a righe per matrici non quadrate.

Questa calcolatrice della forma echelon a righe prenderà una matrice fornita dall'utente e applicherà l'eliminazione gaussiana, mostrando tutti i passaggi e indicando le matrici elementari utilizzate.

Che cos'è la forma row echelon?

La forma echelon di una matrice si verifica se il primo termine non nullo di una riga (talvolta chiamato termine principale) si trova sempre a sinistra del primo termine non nullo che si trova sotto. Questa idea ci aiuta a rappresentare i rispettivi termini principali delle righe come una sequenza echelon in un caso di scala invertita.

Come si può utilizzare la forma echelon di una matrice?

• Può semplificare la calcolo dei determinanti
• Può aiutarvi risolvere sistemi di equazioni lineari
• Può facilitare alcune decomposizioni di matrici

Come si calcola la forma row echelon?

Questa calcolatrice a forma di echelon può servire a molti scopi e sono possibili diversi approcci.

Ma l'idea principale è quella di utilizzare i pivot non nulli per eliminare tutti i valori della colonna che si trovano al di sotto del pivot non nullo, un processo talvolta noto come eliminazione gaussiana. È necessario seguire i seguenti passaggi:

Passo 1 : Verificare se la matrice è già in forma di riga echelon. Se lo è, fermatevi, abbiamo finito.

Passo 2 : Osservare la prima colonna. Se il valore nella prima riga non è zero, usarlo come perno. In caso contrario, verificare che la colonna non abbia un elemento nullo e, se necessario, modificare le righe in modo che il perno si trovi nella prima riga della colonna. Se la prima colonna è zero, passare alla colonna successiva a destra, fino a trovare una colonna non zero.

Passo 3 : Utilizzare il perno per eliminare tutti i valori non nulli al di sotto del perno.

Passo 4 : Dopo di che, se la matrice non è ancora in forma di riga-echelon, spostarsi di una colonna a destra e di una riga sotto per cercare il perno successivo.

Passo 5 : Ripetere il processo, come sopra. Cercare un perno. Se nessun elemento è diverso da zero nella nuova posizione del perno o al di sotto di essa, cercate a destra una colonna con un elemento diverso da zero nella posizione del perno o al di sotto di esso e, se necessario, permutate le righe. Quindi, eliminare i valori al di sotto del perno.

Passo 6 : Continuare il processo di pivoting fino a quando la matrice è in forma di riga-echelon.

Come si calcola la riga echelon su una calcolatrice?

Non tutte le calcolatrici eseguono l'eliminazione di Gauss-Jordan, ma alcune lo fanno. In genere, tutto ciò che si deve fare è inserire la matrice corrispondente per la quale si vuole mettere in Modulo RREF .

Questa calcolatrice vi permetterà di definire una matrice (con qualsiasi tipo di espressione, come frazioni e radici, non solo numeri), e poi vi mostrerà tutti i passaggi del processo per arrivare alla forma echelon ridotta finale.

Questa calcolatrice funziona come un calcolatrice per le operazioni elementari di riga e vi mostrerà esattamente quali matrici elementari vengono utilizzate in ogni passaggio.

Esempio: Calcolo della forma echelon delle righe di una matrice

Question: Si consideri la seguente matrice:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Calcolate la sua forma a riga-echelon, mostrando i passaggi.

Soluzione: La matrice fornita è una matrice \(3 \times 3\).

Dobbiamo trovare la forma echelon di questa matrice.

Passo 1 : Operazioni utilizzate per ridurre la colonna \(1\):
\((1) -\frac{3}{2} R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) -\frac{1}{2} R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Passo 2 : Operazione utilizzata per ridurre la colonna \(2\):
\((1) -\frac{1}{5} R_{ 2} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{2}{5} \end{bmatrix} \)

e siamo arrivati alla forma echelon della matrice data.

Si conclude quindi che la matrice in forma di riga echelon è:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]