Ulteriori informazioni su questa calcolatrice di matrici adiacenti.

Come i cofattori, anche la matrice adjoint è strettamente associata all'inversa di una matrice. In effetti, la matrice inversa e la matrice adjoint si assomigliano molto.

In tutta onestà, il concetto di adjoint di una matrice gioca un ruolo molto importante nella matematica avanzata (dove al posto delle matrici abbiamo a che fare con operatori lineari). Ma nella matematica universitaria, le uniche volte in cui è probabile che ci si imbatta nel concetto di adjoint è quando si calcolare l'inverso di una matrice utilizzando la formula dell'adjoint.

Come si trova l'adiacente di una matrice?

Innanzitutto, per quanto riguarda il modo in cui si calcola l'adjoint di una matrice, ricordiamo la formula matrice dei minori che si ottiene calcolando il determinante delle sottomatrici formate eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna della matrice data \(A\).

Quindi, i minori sono stati definiti come:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Come raggiungere la matrice dei cofattori?

Il cofattore di matrice , \(C\) si ottiene dai minori aggiungendo alcuni "segni", e si definisce come:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

Infine, come si giunge alla matrice di adjoint? Qual è la formula dell'adjoint?

Semplice! Una volta che avete il matrice dei cofattori calcolata già, è necessario trasporre la matrice al fine di ottenere l'adjoint. Concretamente:

\[ adj(A) = C^T \]

Quindi, per facilitare la memorizzazione, abbiamo suddiviso la formula dell'adjoint in 3 fasi: Prima si calcola la matrice dei minori, poi si calcolano i cofattori e infine si traspongono i cofattori per ottenere l'adjoint.

L'adjoint e il transpose sono uguali?

Sebbene l'adjoint implichi la trasposizione di una matrice, in generale l'adjoint e la matrice trasposta sono diverse tra loro.

Come si trova l'adjoint di una matrice 4x4 o più grande?

Il processo di ricerca dell'adjoint può essere numericamente esteso, considerando che è necessario calcolare i sottodeterminanti di \(n^2\), che possono crescere rapidamente con \(n \ge 4\).

Esempio di calcolo della matrice adjoint

Question: Si consideri la seguente matrice

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Calcolare la matrice adiacente associata \(adj A\).

Soluzione:

È necessario calcolare la matrice adiacente della matrice \(3 \times 3\) che è stata fornita:

Fase 1: Calcolo della matrice dei cofattori

Per prima cosa calcoliamo la matrice dei minori. Per definizione, la matrice dei minori \(M\) è definita dalla formula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

dove in questo caso \( A^{i,j}\) è la matrice \(A\) dopo aver eliminato la riga \(i\) e la colonna \(j\).

Pertanto, sulla base della matrice \(A\) fornita, si ottengono i seguenti coefficienti della matrice dei minori:

Per \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Per \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Per \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Per \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Per \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Per \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Per \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Riassumendo, la matrice dei minori è:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Ora, possiamo calcolare gli elementi della matrice dei cofattori \(C\) utilizzando la formula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formula precedente può essere utilizzata direttamente perché i minori sono già noti. Otteniamo

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

Riassumendo, la matrice dei cofattori è:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Fase 2: Calcolo della matrice Adjoint dalla matrice del cofattore

A questo punto, è sufficiente trasporre la matrice cofattrice che abbiamo trovato per calcolare la matrice adiacente. Otteniamo:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo della matrice adiacente.