Calcolatore RREF a matrice

La forma echelon a righe ridotte è uno dei processi più utili dell'algebra lineare e può servire a molteplici scopi.

L'RREF si ottiene solitamente con il processo di eliminazione gaussiana. In termini di applicazioni, la forma echelon a righe ridotte può essere utilizzata per risolvere sistemi di equazioni lineari , a calcolare l'inverso di una matrice o per trovare utili decomposizioni di matrici

Qual è il valore di rref di una matrice?

L'idea della forma echelon a righe è quella di costruire sistematicamente una matrice equivalente attraverso l'uso di matrici elementari invertibili per arrivare a una forma echelon a righe, che è una forma generalizzata di una forma triangolare.

Utilizzando un approccio di riduzione delle righe, possiamo ottenere una matrice in questa forma di riga-echelon, usando perni non nulli .

Vantaggi dell'RREF

• Questo calcolatore RREF riduce la matrice in una forma utile per molti scopi
• Ad esempio, se la forma RREF finale della matrice data è la forma identità , il la matrice è invertibile
• Aumentando la matrice originale, trovare la forma RREF permette di costruire l'inversa utilizzando matrici elementari
• Fornisce un modo sistematico per risolvere sistemi di equazioni lineari .

Come si calcola la forma ridotta row echelon?

Esistono diversi approcci possibili e utilizzabili. Ma l'idea principale è quella di utilizzare i pivot non nulli per eliminare tutti i valori della colonna che si trovano al di sotto del pivot non nullo, il che è alla base della procedura chiamata Eliminazione gaussiana.

Uno degli elementi cruciali di questa riduzione è sapere se una matrice si trova in rref, in modo da interrompere il processo quando è così.

Si consiglia di seguire i seguenti passaggi:

Passo 1 : Verificare se la matrice è già in forma echelon ridotta. Se lo è, fermatevi, abbiamo finito.

Passo 2 : Osservare la prima colonna. Se il valore nella prima riga non è zero, usarlo come perno. In caso contrario, verificare che la colonna non abbia un elemento nullo e, se necessario, modificare le righe in modo che il perno si trovi nella prima riga della colonna. Se la prima colonna è zero, passare alla colonna successiva a destra, fino a trovare una colonna non zero.

Passo 3 : Utilizzare il perno per eliminare tutti i valori non nulli al di sotto del perno.

Passo 4 : Normalizzare il valore del perno a 1.

Passo 5 : Utilizzare il perno per eliminare tutti i valori non nulli al di sopra del perno.

Passo 6 : Dopo di che, se la matrice non è ancora in forma di riga-echelon, spostarsi di una colonna a destra e di una riga sotto per cercare il perno successivo.

Passo 7 : Ripetere il processo, come sopra. Cercare un perno. Se nessun elemento è diverso da zero nella nuova posizione del perno o al di sotto di essa, cercate a destra una colonna con un elemento diverso da zero nella posizione del perno o al di sotto di esso e, se necessario, permutate le righe. Quindi, eliminare i valori al di sotto del perno.

Passo 7 : Continuare il processo di pivoting finché la matrice non è in forma ridotta di riga-echelon.

Come si calcola la riga ridotta echelon su una calcolatrice?

Non tutte le calcolatrici eseguono l'eliminazione di Gauss-Jordan, ma alcune lo fanno. In genere, è sufficiente inserire la matrice corrispondente che si desidera mettere in forma RREF.

Si noti che per avere una forma echelon a righe ridotte è necessario avere degli zeri anche SOPRA il perno. Se non ne avete bisogno, potete usare questo metodo calcolatore della forma a file echelon che non riduce i valori al di sopra del perno

Questa calcolatrice vi permetterà di definire una matrice (con qualsiasi tipo di espressione, come frazioni e radici, non solo numeri), e poi vi mostrerà tutti i passaggi del processo per arrivare alla forma echelon ridotta finale.

La maggior parte delle calcolatrici utilizza le operazioni di riga elementare per eseguire il calcolo, ma la nostra calcolatrice vi mostrerà esattamente e dettagliatamente quali matrici elementari vengono utilizzate in ogni fase.

Come si risolve una soluzione RREF

Dipende un po' dal contesto, ma un modo è quello di partire da un sistema lineare di equazioni, rappresentarlo in forma di matrice, in questo caso la soluzione RREF quando si aumentano i valori della mano destra.

Un'altra opzione consiste nel partire da una matrice e aumentarla con la matrice identità, nel qual caso la soluzione RREF porterà all'inverso della matrice originale.

Esempio di forma echelon a righe ridotte

Question: Si supponga di avere la seguente matrice:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Trovate la sua forma echelon ridotta, mostrando tutti i passaggi e le matrici elementari corrispondenti.

Soluzione: La matrice fornita è una matrice \(3 \times 3\).

Dobbiamo trovare la forma echelon ridotta di questa matrice.

Passo 1 : Operazioni utilizzate per ridurre la colonna \(1\):
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Passo 2 : Operazione utilizzata per ridurre la colonna \(1\):
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Per la colonna \(2\), tutti gli elementi sotto il perno sono già a zero, quindi non è necessario eliminarli.

Passo 3 : Operazioni utilizzate per ridurre la colonna \(2\) sopra il perno:
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Passo 4 : Per la colonna \(3\) non troviamo un perno perché la colonna è zero, quindi passiamo alla colonna successiva.

Si conclude quindi che la matrice in forma RREF è:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]