Come calcolare le varianze aggregate

Un Varianza aggregata è una stima della varianza della popolazione ottenuta da due varianze campionarie quando si presuppone che i due campioni provengano da una popolazione con la stessa deviazione standard della popolazione.

In tale situazione, nessuna delle varianze campionarie è una stima migliore dell'altra e le due varianze campionarie fornite vengono "raggruppate" insieme, in una sorta di media ponderata, per calcolare la varianza aggregata

Come si calcola la varianza aggregata?

La formula per calcolare la varianza aggregata date due varianze campione è:

\[ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \]

D'altra parte, dalla formula della varianza aggregata possiamo dedurre che la deviazione standard aggregata è:

\[s_p = \sqrt{ \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\]

Relazione tra varianza aggregata e somma dei quadrati

Il modo interessante di esprimere le formule di cui sopra si basa sull'idea di Somma dei quadrati (\(SS\)). Nelle scienze sociali la somma dei quadrati di un campione è definita come

\[SS = \sum_{i=1}^n \left( X - \bar X\right)^2 \]

Ma utilizzando la definizione di varianza campionaria, è possibile vederlo direttamente

\[SS = \sum_{i=1}^n \left( X - \bar X \right)^2 = (n-1) s^2\]

Quindi moltiplichiamo la varianza campionaria per \(n-1\) e otteniamo la somma dei quadrati \(SS\). Inoltre, sappiamo che per il caso di un campione abbiamo \(df = n-1\). Pertanto, la varianza aggregata può essere scritta in modo molto semplice come:

\[ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{ SS_1 + SS_2}{df_1+df_2}\]

Quando utilizzare le varianze aggregate

L’idea delle varianze aggregate richiede il presupposto che le varianze della popolazione siano uguali. Nel caso di varianze di popolazione disuguali, dovresti usare questo calcolatore delle varianze non raggruppate .

Un contesto in cui viene utilizzata l'idea delle varianze aggregate è il test t per due varianze indipendenti. Per un calcolatore t-test (dove viene utilizzata l'idea delle varianze aggregate), controllalo qui.

Qual è la varianza aggregata nel test z?

La varianza aggregata non si applica nel caso di un test z, perché in tal caso si presuppone che le varianze della popolazione siano note e non è necessario raggrupparle per effettuare la migliore stima possibile.

L’idea di una varianza aggregata è più rilevante quando le varianze della popolazione non sono note ed è necessario elaborare una buona stima, nel qual caso l’aggregazione delle varianze fa un buon lavoro.

Qual è lo scopo della varianza aggregata?

Come spiegato in precedenza, lo scopo del calcolo della varianza del pool è stimare la varianza comune della popolazione quando la varianza effettiva della popolazione non è nota.

Ecco perché è importante conoscere la varianza aggregata per il formula del test t , perché questo è un caso in cui non si conoscono esattamente le varianze della popolazione.

Quindi, in un certo senso, la varianza aggregata è una sorta di media ponderata delle varianze , quindi prova a ottenere la migliore stima possibile, in base alle informazioni del campione.

La varianza aggregata è uguale a mse?

Nel contesto di un ANOVA , è. La formula MSE prende la varianza aggregata dei campioni. In tal caso, il raggruppamento può includere più di due campioni.

La formula della varianza aggregata per più di due campioni è una semplice estensione della formula per due campioni.