Questo è un seguito di sezione precedente , dove sono state presentate le notazioni più comuni per le statistiche descrittive. È fondamentale capire come viene utilizzata la notazione, poiché in matematica e statistica vengono utilizzate come scorciatoie , e come tale, se non capisci il loro significato, sarai presto perso e VERAMENTE non capirai di cosa si sta parlando.

Nei paragrafi seguenti continueremo questa serie, tentando di chiarire l'uso della notazione nella statistica inferenziale, dove vengono utilizzate notazioni più profuse e sofisticate, e di conseguenza dovresti prestare attenzione a ciò che viene.

Notazione in statistica inferenziale

I seguenti simboli e notazioni sono comunemente usati quando si lavora con le statistiche inferenziali. Questi simboli sono ancora utilizzati durante la maggior parte della lezione di statistica.

· $\mu$: questo è il simbolo generico che rappresenta la media della popolazione. Questo è un parametro (perché è una costante che non è costruita con informazioni di esempio). A volte $\mu$ viene fornito con un sottoindice per rappresentare la media della popolazione di quale variabile stiamo parlando. Ad esempio, se vediamo ${{\mu }_{X}}$, quel simbolo si riferisce alla media della popolazione della variabile casuale $X$. In termini generali, se $f\left( x \right)$ è la variabile casuale di distribuzione (densità) $X$, la media della popolazione viene calcolata con la seguente espressione:

$${{\mu }_{X}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{x\,f\left( x \right)dx}$$

nel caso di una variabile casuale continua, o

$${{\mu }_{X}}=\sum\limits_{k}{{{x}_{k}}f\left( {{x}_{k}} \right)}$$

per il caso di una distribuzione discreta.

Un paio di cose da tenere a mente: sebbene $\mu$ sia il simbolo generico per riferirsi alla media della popolazione, ci sono alcune distribuzioni che usano abitualmente simboli diversi. Ad esempio, se X è una variabile casuale di Poisson, la tradizione è di utilizzare $\lambda$ come simbolo per la media della popolazione. La cosa importante da tenere a mente è che è solo una notazione, questa è, una CONVENZIONE.

· ${{\sigma }^{2}}$: questa è la varianza della popolazione, calcolata come

$${{\sigma }^{2}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\,f\left( x \right)dx}-{{\mu }^{2}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\,f\left( x \right)dx}-{{\left( \int\limits_{-\infty }^{\infty }{xf\left( x \right)dx} \right)}^{2}}$$

Questo è il parametro della popolazione, perché è un numero fisso (non una variabile casuale) che non è costruito dalle informazioni del campione). Come per la media della popolazione, è consuetudine aggiungere un sottoindice per rappresentare la variabile sottostante. Ciò significa che $\sigma _{X}^{2}$ rappresenta la varianza della popolazione della variabile casuale X, mentre $\sigma _{Y}^{2}$ rappresenta la varianza della popolazione della variabile casuale Y.

Ancora una volta, come nel caso precedente, questa è una NOTAZIONE più comune (o scorciatoia, se vuoi) per scrivere la varianza della popolazione. Ma ci sono casi in cui la tradizione è quella di usare qualcos'altro. Ad esempio, se X ha una distribuzione di Poisson, abbiamo menzionato prima che la media della popolazione è indicata come $\lambda$ e risulta che quando si calcola la varianza della popolazione, troviamo che è uguale anche a $\lambda$. In tal caso, scriveremmo $\sigma _{X}^{2}=\lambda$. Quindi, per favore, per favore, non confondetevi tra un file notazione parte di $\sigma _{X}^{2}=\lambda$ e parte di calcolo di $\sigma _{X}^{2}=\lambda$.

· $\sigma$: questa è la deviazione standard della popolazione, che viene calcolata prendendo la radice quadrata della varianza della popolazione, o semplicemente usando la formula seguente,

$$\sigma =\sqrt{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\,f\left( x \right)dx}-{{\left( \int\limits_{-\infty }^{\infty }{xf\left( x \right)dx} \right)}^{2}}}$$

Questo è un parametro, perché è un numero fisso che non è costruito con informazioni di esempio.

· ${{H}_{0}}$: questa è la notazione per ipotesi nulla . Nella verifica delle ipotesi, l'ipotesi nulla è l'ipotesi di nessun effetto

· ${{H}_{A}}$: questa è la notazione per ipotesi alternativa . Nella verifica delle ipotesi, l'ipotesi alternativa è l'ipotesi che può essere dimostrata se i dati del campione sono sufficientemente improbabili, se l'ipotesi nulla Ho fosse vera

· $\Theta$: questo è un simbolo meno comunemente usato e rappresenta l'insieme di tutti i valori possibili per il parametro della popolazione. Ad esempio, se X è una variabile casuale distribuita normalmente, con una varianza della popolazione di ${{\sigma }^{2}}=1$ e una media di popolazione sconosciuta $\mu$, l'insieme di tutti i valori possibili che possono essere presi da $\mu$ è l'intera linea reale. Quindi, in altre parole, avremmo in quel caso che $\Theta =\left( -\infty ,\infty \right)$.

· ${{\Theta }_{0}}$: Nel contesto del simbolo sopra, questo simbolo rappresenta i possibili valori assunti da un parametro di popolazione come dichiarato nell'ipotesi nulla di un test di ipotesi. Ad esempio, supponiamo che X sia una variabile casuale distribuita normalmente, con una varianza della popolazione di ${{\sigma }^{2}}=1$ e una media della popolazione sconosciuta, e siamo interessati a testare le seguenti ipotesi null e alternative:

$$\begin{align} & {{H}_{0}}:\mu =0 \\ & {{H}_{A}}:\mu \ne 0 \\ \end{align}$$

In tal caso, avremmo che ${{\Theta }_{0}}=\left\{ 0 \right\}$ .

· ${{\Theta }_{A}}$: Sulla falsariga dei simboli precedenti, questo simbolo rappresenta i possibili valori assunti da un parametro di popolazione come dichiarato nell'ipotesi alternativa di un test di ipotesi. Ad esempio, supponiamo che X sia una variabile casuale distribuita normalmente, con una varianza della popolazione di ${{\sigma }^{2}}=1$ e una media della popolazione sconosciuta, e siamo interessati a testare le seguenti ipotesi null e alternative:

$$\begin{align} & {{H}_{0}}:\mu =0 \\ & {{H}_{A}}:\mu \ne 0 \\ \end{align}$$

In tal caso, avremmo che ${{\Theta }_{A}}=\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 0,\infty \right)$ . Si noti che per definizione, abbiamo bisogno di $\Theta ={{\Theta }_{0}}\cup {{\Theta }_{A}}$.

· $\rho$: corrisponde alla correlazione della popolazione tra le variabili X e Y. Per essere più espliciti sulle variabili coinvolte, la notazione può essere scritta come $\rho \left( X,Y \right)$ o anche ${{\rho }_{X,Y}}$.

· $\pi$: sebbene non universale, questo simbolo viene utilizzato per rappresentare una proporzione di popolazione. In questo modo, ${{\pi }_{1}}$ rappresenterà la proporzione della popolazione (per alcune variabili categoriali) nella popolazione 1, ecc. A volte, un semplice $p$ viene utilizzato per rappresentare una proporzione della popolazione, ma penso che sia una cattiva idea, sebbene, più o meno, $p$ è la notazione più comunemente usata per rappresentare una proporzione di popolazione.

· $\sim$: il simbolo "tilde" viene utilizzato per rappresentare che una certa variabile casuale ha una distribuzione specificata. Ad esempio, se vediamo: $X\tilde{\ }Poisson\left( \lambda \right)$, lo interpretiamo come: "X è una variabile casuale che ha una distribuzione di Poisson con media $\lambda$".