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O Teorema Binomial

O Teorema Binomial é um dos teoremas mais famosos da Álgebra e tem uma infinidade de aplicações nas áreas de Álgebra, Probabilidade e Estatística. Ele afirma uma fórmula agradável e concisa para o n ^º potência da soma de dois valores: \((a+b)^n\)

Fui apresentado pela primeira vez informalmente por Sir Isaac Newton em 1665.

Muitos outros matemáticos notáveis abordaram o teorema Binomial após Newton. Foi um problema muito atraente nos séculos XVII e XVIII.

A Fórmula para a Expansão Binomial

O que é inteiro sobre o Teorema Binomial é que ele fornece uma fórmula muito elegante e concisa. Antes de entrar na fórmula, façamos alguns cálculos. Por exemplo, para \(n = 2\), obtemos:

\[\large (a+b)^2 = (a+b) \times (a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ba + ab + b^2 \] \[\large = a^2 + 2ab + b^2 \]

Agora vamos tentar com \(n = 3\):

\[\large (a+b)^3 = (a+b)^2 \times (a+b) = (a^2 + 2ab+b^2)(a+b) \] \[\large = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \] \[\large = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Finalmente, sejamos corajosos e experimentemos com \(n = 4\):

\[\large (a+b)^4 = (a+b)^3 \times (a+b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)(a+b) \] \[\large = a^4 + 3a^3 b + 3a^2b^2 + ab^3 + a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4 \] \[\large = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4\]

Ok, isso foi corajoso, não é? Você vê algum padrão lá. Eu posso ver alguns. Por exemplo, para \(n = 2\), podemos simplificar para 3 termos. Para \(n = 3\) podemos simplificar para 4 termos, e para \(n = 4\) podemos simplificar para 5 termos. Portanto, em geral, espero que para o poder geral de \(n\), teremos \(n+1\) termos

Mais padrões? Bem, sempre há um termo da forma \(a^l b^m\), e podemos ver que os poderes \(l\) vão diminuindo, e os poderes \(m\) vão aumentando. Mas há algo interessante também: Se você verificar cada termo, a soma dos poderes é sempre \(n\). Na verdade, você verificará \(l + m = n\) para todos esses termos.

Por exemplo, para \(n = 2\) você tem o termo \(2 a b\). A potência de \(a\) é 1 e a potência de \(b\) é 1, e a soma das potências é \(1 + 1 = 2\). Ou, por exemplo, para \(n = 4\) você tem o termo \(6 a^2 b^2\), onde a potência de \(a\) é 2 e a potência de \(b\) é 2, e a soma das potências é \(2 + 2 = 4\)

O Teorema Binomial Geral

Agora estamos prontos para fornecer a expressão geral para o Teorema Binomial. Pronto? Nós temos:

\[\large (a+b)^n = a^n + {n \choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2} b^2 + ... + {n \choose n-1} a b^{n-1} + b^n \]

onde o termo \({n \choose i}\) é lido como "n escolher i" ou também como um "coeficiente combinatório", e é definido como

\[\large \displaystyle {n \choose i}= \frac{n!}{i! \times (n-i)!}\]

Por exemplo,

\[\large \displaystyle {5 \choose 2} = \frac{5!}{2! \times (5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10\]

Você pode usar isso calculadora de coeficiente combinatório para aprender mais sobre ele e praticar vendo todas as etapas mostradas.

O Teorema Binomial Geral usando uma Soma

A soma acima que define o Teorema Binomial usa a notação por extensão, para tornar os termos mais compreensíveis. Como sempre em matemática, tentamos tornar as coisas mais compactas e a expressão acima pode ser resumida como:

\[\large \displaystyle (a+b)^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} a^i b^{n-i} \]

Observe os poderes dos termos na expansão. O termo geral é \(a^i b^{n-i}\) (vezes uma constante). A soma dos poderes é \(i + (n-i) = n\). Portanto, a soma das potências de TODOS os termos na expansão deve ser \(n\). Não é bonito ???

EXEMPLO 1

O termo \(x^3 y^2\) (vezes uma constante) pode fazer parte da expansão de \((x+y)^6\)? Por quê?

RESPONDA:

A resposta é não. Neste caso, \(n = 6\), e sabemos pelo teorema Binomial que a soma das potências dos termos \(x^l y^m\) na expansão deve ser igual a \(n\). Nesse caso, \(l + m = 3 + 2 = 5\), que não é o mesmo que \(n = 6\). Portanto, o termo \(x^3 y^2\) (vezes uma constante) não pode fazer parte da expansão de \((x+y)^6\).

EXEMPLO 2

Expanda \((a-b)^3\) usando o teorema Binomial.

RESPONDA:

Esperar. Você deve estar pensando "Você acabou de me ensinar como expandir \((a+b)^n\), mas agora você me pergunta sobre \((a-b)^n\). Por que você é tão cruel". Aguente. Eu não estou pregando peças em você.

Sempre tem um truque (não se esqueça dessa linha, ela aparece muito no Math).

Observe que \(a - b\) é igual a \(a + (-b)\).

Ahhhhhhh, então o Teorema Binomial ainda se aplica. Então:

\[\large (a-b)^3 = (a+(-b))^3 = a^3 + {3 \choose 1} a^2 (-b) + {3 \choose 2} a (-b)^2 + (-b)^3 \] \[\large \displaystyle = a^3 - \frac{3!}{1! \times 2!} a^2 b + \frac{3!}{2! \times 1!} a b^2 -b^3 \] \[\large \displaystyle = a^3 - \frac{6}{1 \times 2} a^2 b + \frac{6}{2 \times 1} a b^2 -b^3 \] \[\large = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 -b^3 \]

Mais sobre a expansão binomial

O teorema Binomial é tão importante que é abordado em quase todos os cursos, incluindo Álgebra, Cálculo, Probabilidade e Estatística.

Existem algumas generalizações, como a expansão binomial negativa, que está além do escopo deste tutorial.

O Triângulo Pascal

Algumas vezes os alunos ficam presos quando precisam calcular as constantes (os coeficientes combinatórios) que fazem parte da expansão binomial. Uma maneira realmente fácil de fazer isso é usar o Triângulo de Pascal.

O triângulo Pascal mostra como os coeficientes binomiais sucessivos podem ser calculados com base nos coeficientes do valor anterior de \(n\), adicionando os dois coeficientes que vêm imediatamente acima.

Formulários

A expansão binomial tem múltiplas aplicações na Álgebra e na Teoria das Probabilidades. Por exemplo, em Probabilidade, a distribuição Binomial é baseada no teorema binomial.

Na verdade, considere um número \(0 \le p \le 1\). Então, \(p + (1-p) = 1\) e podemos usar o teorema Binomial:

\[\large \displaystyle 1 = 1^n = (p + (1-p))^n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} p^i (1-p)^{n-i} \]

o que significa que

\[\large \displaystyle \sum_{i=0}^n {n \choose i} p^i (1-p)^{n-i} = 1 \]

Acontece que cada um dos termos \({n \choose i} p^i (1-p)^{n-i}\) representa uma probabilidade. Além disso, temos:

\[\large \Pr(X = i) = {n \choose i} p^i (1-p)^{n-i} = 1 \]

onde \(X\) é o número de sucessos após \(n\) tentativas, quando a probabilidade de sucesso de cada tentativa é \(p\). A variável \(X\) é conhecida como variável aleatória binomial.