Álgebra Tutoriais

O gráfico de uma função

O gráfico de uma função é um conjunto de pares ordenados $(x,y)$ . Ou, o gráfico de uma função é uma conceituação que fazemos um conjunto de pares $(x,y)$ em um sistema de coordenadas. Eu digo que é uma conceituação, porque a maneira como representamos um gráfico é, até certo ponto, uma ilusão de ótica.

Por que eu digo isso? Bem, dê uma olhada. O que você pensa quando digo "gráfico". Verifique a figura antes.

Então esse é um gráfico. Um conjunto de pares $(x, y)$ , ou como também podemos chamá-los, pontos. Um ponto específico é destacado abaixo, dê uma olhada

O truque, ou a ilusão visual, é que um ponto não tem, em teoria, dimensões (sem largura, sem comprimento). Então, essa "curva" que desenhamos para representar um gráfico, é uma forma conveniente de representar um gráfico, mas estamos meio que trapaceando, porque essa representação tem uma curva que tem uma espessura.

Então, isso não é para chover no seu desfile, é apenas para deixar claro que o que você entende por gráfico, é antes um representação de um gráfico que seja conveniente e confiável.

Gráficos associados a funções

Uma maneira realmente fácil de definir um gráfico é usando a função $f(x)$ . De fato, um gráfico definido por uma função $f(x)$ é o conjunto de todos os pontos $(x, f(x))$ , para $x \in D$ , onde $D$ é o domínio da função $f$ .

A representação é a mesma dos gráficos anteriores, só que agora fazemos o seguinte:

Nesse caso, a diferença mais clara é que o segundo componente do par $(x,y)$ não é qualquer valor $y$ . O segundo componente é $f(x)$ , portanto, é determinado exclusivamente por $x$ .

EXEMPLO 1

Trace o gráfico da função $f(x) = x^2$ .

RESPONDA:

Nada de estranho, só precisa desenhar o gráfico de uma função. Os pontos no gráfico têm o formato $(x, f(x)) = (x, x^2)$ . Ou seja, o valor de $x$ está associado a $x^2$ no gráfico.

Exemplos de pontos que estão no gráfico: $(1, 1)$ , $(2, 2^2) = (2, 4)$ , $(3, 3^2) = (3, 9)$ , etc. Graficamente, obtemos a seguinte representação do gráfico:

Gráficos contínuos versus descontínuos

Uma das suposições que fazemos em nossas mentes quando pensamos em um gráfico é que é suave, sem saltos. Esse não é sempre o caso. Existem funções que levam a funções que saltam, ou mesmo levam a gráficos estranhos. Outras funções têm gráficos muito suaves, como aconteceu com $f(x) = x^2$ .

O conceito de suavidade de uma função é tratado formalmente no Cálculo, com a noção de função contínua. Mas sem muito fuzz, podemos dizer que, por enquanto, vamos pensar que uma função contínua é uma função que tem um gráfico "suave", e uma função descontínua é uma função que não é suave, ou que tem "saltos"

EXEMPLO 2

A função $f(x) = sin(x)$ é contínua?

RESPONDA:

Bem, novamente, precisaríamos de uma análise de continuidade formal para verificar. Mas à luz da definição informal dada acima, vamos verificar seu gráfico. O computador nos dá o seguinte:

Eu diria que o gráfico acima parece muito bom, sem saltos, então usando nossa definição ingênua, eu diria que $f(x) = \sin x$ é contínuo.

EXEMPLO 3

A função $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{cc}-1 &\,\,\,\,\text{for } x\le 1 \\ \\ x & \,\,\,\,\,\,\text{for }x>1 \\ \end{array} \right.$ é contínua?

RESPONDA:

Para responder à pergunta, precisamos traçar o gráfico. O computador nos dá o seguinte:

Observe que há um salto no ponto $x = 1$ , então eu diria que o gráfico acima tem um salto e, portanto, esta função é descontínua.

Mais sobre gráficos

O uso de gráficos para fazer uma representação de uma função pode ser um papel crucial para a compreensão do comportamento de uma função.

Existem ferramentas analíticas (Cálculo) suficientes para entender o comportamento de uma função $f(x)$ , sem a necessidade de traçá-la. Porém, é muito prático ver um gráfico porque é uma maneira muito rápida de se ter uma ideia do que a função está fazendo.

Observe que nem todos os gráficos devem vir de funções. Por exemplo, os gráficos também podem vir de relações. Veja o gráfico abaixo e diga-me se conseguir descobrir que relação está associada a ele.

Círculo unitário determinado por x ^ 2 + y ^ 2 = 1

Você acertou, aquele gráfico acima é uma representação da equação de um círculo unitário, $x^2 + y^2 = 1$ , que como já sabemos, ele determina uma relação, e não uma função.