Calculadora de desigualdade de Markov

A Desigualdade de Markov afirma que para um valor \(a > 0\), temos para qualquer variável aleatória \(X\) que não assume valores negativos, o seguinte limite superior é sempre observado:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

A desigualdade de Markov é muito importante para estimar probabilidades, considerando sua generalidade no sentido de que se aplica a qualquer variável aleatória não negativa \(X\).

Na verdade, a desigualdade de Markov é crucial para provar uma desigualdade amplamente utilizada, que é Desigualdade de Chebyshev , e é a base para uma desigualdade ainda mais acentuada, que é a Desigualdade de Hoeffding.

Intuição de desigualdade de Markov

Qual é a intuição por trás da desigualdade de Markov? Bem, primeiro, há o fator claro de que a probabilidade em uma cauda direita tem um limite superior que diminui mais e mais à medida que obtemos uma cauda mais à direita, o que na verdade é bastante óbvio.

Observe a natureza da desigualdade, que é que \(\frac{E(X)}{a}\) não é o valor exato da probabilidade da cauda, ​​mas é apenas um limite superior. Quão próximo é esse limite? Bem, agora sabemos que depende da distribuição real, mas ainda existem desigualdades mais nítidas como a Desigualdade de Hoeffding.

Ainda assim, há uma regra muito clara em matemática: quanto mais gerais (menos específicas) as suposições, mais fraco é o teorema. Portanto, é bastante impressionante que a desigualdade de Markov exista considerando a natureza muito geral de suas suposições.

Por exemplo, o Regra empírica é uma desigualdade muito mais rígida, mas faz uma suposição muito mais forte: que a distribuição subjacente é normal. A desigualdade de Markov funciona para qualquer distribuição (de variável não negativa)