Propriedade comutativa de adição
A propriedade comutativa da adição é uma das suposições cruciais feitas em matemática, que você provavelmente considera natural e usa o tempo todo sem saber.
A ideia de comutatividade gira em torno da ordem de uma operação. A questão é, eu tenho isso
\[\large a + b = b + a\]para qualquer número \(a\) e \(b\)? Para você, essa pode ser uma pergunta boba. Como "o que você quer dizer, é claro". Mas a comutatividade não é válida para TODAS as operações. Mas acontece que é verdade para a adição comum de números.
Existe alguma prova para a comutatividade da adição? Tecnicamente não, porque é antes um axioma para os números reais como um campo algébrico.
No entanto, mas entendendo como a adição opera, é fácil CONCORDAR que a comutatividade faz sentido e, portanto, abraçamos o axioma.
Por exemplo, faz todo o sentido do mundo pensar que \(3 + 4\) é igual a \(4 + 3\). Por que isso ?? Por causa da maneira como conduzimos a adição em nossas mentes: é como contar 3 (digamos, usando os dedos) e então contamos 4.
Portanto, raciocinamos que, no final, contaríamos a mesma quantidade de dedos, mesmo que contássemos 4 primeiro e 3 segundos.
Essa é uma boa maneira de ver isso. E o conceito básico disso é que a comutatividade NÃO é concedida e algumas operações a terão e outras não.
Outras operações que possuem comutatividade
A comutatividade é comum? Sim, bastante. Mas nem todas as operações têm. Mesmo os mais comuns. Por exemplo, a multiplicação de números é comutativa. Isso, nós temos aquilo
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]para todos os números reais \(a\) e \(b\). Legal, então isso significa que a comutatividade vale para todas as operações comuns? De jeito nenhum. Por exemplo, nem a subtração nem a divisão de números são comutativas. Na verdade, em geral
\[\large a - b = \not b - a\]e a igualdade só se mantém quando \(a = b\). Portanto, por exemplo, \(3 - 1 = 2\) e \(1 - 3 = -2\) não são iguais. Portanto, a subtração de números não é comutativa. Surpreso? Bem, agora você sabe disso.
Além disso, para a divisão, temos que em geral
\[\large a / b = \not b / a\]e a igualdade só se mantém quando \(a = b\). Portanto, por exemplo, \(6 / 3 = 2\) e \(3 / 6 = 1/2\) não são iguais. Portanto, a divisão dos números não é comutativa.
EXEMPLO 1
Considere a seguinte operação entre números reais \(a\) e \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]Esta operação é comutativa?
RESPONDA:
Uma vez que a adição e multiplicação de números reais é comutativa, temos que
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]o que implica que a operação \(\odot\) é comutativa.
EXEMPLO 2
Agora considere a seguinte operação entre números reais \(a\) e \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]Esta operação é comutativa?
RESPONDA:
Notar que
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]Então
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]que não é zero em geral. Portanto, isso implica que a operação \(\odot\) agora NÃO é comutativa.
Mais sobre a propriedade comutativa da adição
Portanto, a comutatividade parece ser muito óbvia para a adição de números e também para a multiplicação de números. Mas, isso vale para todas as operações que podemos pensar? Resposta rápida: absolutamente não.
Não precisamos ir muito longe para encontrar exemplos de operações que não são comutativas. Por exemplo, consideremos a multiplicação de matrizes. Você pode se surpreender com isso, mas a multiplicação de matrizes NÃO é comutativa.
Em outras palavras, você pode ter matrizes \(A\) e \(B\) para as quais \(A \cdot B = \not B \cdot A\). Não acredita nisso? Confira: Considere
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]Então, neste caso, temos que
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]e
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]o que mostra que NÃO é verdade em geral que \(A \cdot B = B \cdot A\).
Você pode ler mais sobre o propriedade comutativa e também sobre o propriedade associativa . Essas duas propriedades são a base fundamental da estrutura dos números reais.