A propriedade comutativa da adição é uma das suposições cruciais feitas em matemática, que você provavelmente considera natural e usa o tempo todo sem saber.

A ideia de comutatividade gira em torno da ordem de uma operação. A questão é, eu tenho isso

para qualquer número $a$ e $b$? Para você, essa pode ser uma pergunta boba. Como "o que você quer dizer, é claro". Mas a comutatividade não é válida para TODAS as operações. Mas acontece que é verdade para a adição comum de números.

Existe alguma prova para a comutatividade da adição? Tecnicamente não, porque é antes um axioma para os números reais como um campo algébrico.

No entanto, mas entendendo como a adição opera, é fácil CONCORDAR que a comutatividade faz sentido e, portanto, abraçamos o axioma.

Por exemplo, faz todo o sentido do mundo pensar que $3 + 4$ é igual a $4 + 3$. Por que isso ?? Por causa da maneira como conduzimos a adição em nossas mentes: é como contar 3 (digamos, usando os dedos) e então contamos 4.

Portanto, raciocinamos que, no final, contaríamos a mesma quantidade de dedos, mesmo que contássemos 4 primeiro e 3 segundos.

Essa é uma boa maneira de ver isso. E o conceito básico disso é que a comutatividade NÃO é concedida e algumas operações a terão e outras não.

Outras operações que possuem comutatividade

A comutatividade é comum? Sim, bastante. Mas nem todas as operações têm. Mesmo os mais comuns. Por exemplo, a multiplicação de números é comutativa. Isso, nós temos aquilo

para todos os números reais $a$ e $b$. Legal, então isso significa que a comutatividade vale para todas as operações comuns? De jeito nenhum. Por exemplo, nem a subtração nem a divisão de números são comutativas. Na verdade, em geral

e a igualdade só se mantém quando $a = b$. Portanto, por exemplo, $3 - 1 = 2$ e $1 - 3 = -2$ não são iguais. Portanto, a subtração de números não é comutativa. Surpreso? Bem, agora você sabe disso.

Além disso, para a divisão, temos que em geral

e a igualdade só se mantém quando $a = b$. Portanto, por exemplo, $6 / 3 = 2$ e $3 / 6 = 1/2$ não são iguais. Portanto, a divisão dos números não é comutativa.

EXEMPLO 1

Considere a seguinte operação entre números reais $a$ e $b$:

Esta operação é comutativa?

RESPONDA:

Uma vez que a adição e multiplicação de números reais é comutativa, temos que

o que implica que a operação $\odot$ é comutativa.

EXEMPLO 2

Agora considere a seguinte operação entre números reais $a$ e $b$:

Esta operação é comutativa?

RESPONDA:

Notar que

Então

que não é zero em geral. Portanto, isso implica que a operação $\odot$ agora NÃO é comutativa.