Propriedade comutativa
A propriedade Comutativa é uma daquelas propriedades das operações algébricas pelas quais não hesitamos, porque geralmente é considerada um dado adquirido. A propriedade comutativa tem a ver com a ordem da operação entre dois operandos, e como não importa em que ordem os operamos, obtemos o mesmo resultado final da operação.
A propriedade comutativa é uma das pedras angulares da Álgebra e é algo que usamos o tempo todo sem saber. Fica até na nossa cabeça sem saber, quando costumamos pegar a "ordem dos fatores não altera o produto".
Em primeiro lugar, precisamos entender o conceito de operação. Em termos matemáticos, uma operação "\(\circ\)" é simplesmente uma maneira de pegar dois elementos \(a\) e \(b\) em um determinado conjunto \(E\) e fazer "algo" com eles para criar outro elemento \(c\) no conjunto \(E\).
Então, quando você pega dois elementos \(a\) e \(b\) em um conjunto, você os opera com a operação "\(\circ\)" e obtém \(c\). Você escreve isso matematicamente como \(a \circ b = c\).
Definição: Uma operação \(\circ\) é comutativa se para quaisquer dois elementos \(a\) e \(b\) temos isso
\[ a\circ b = b \circ a\]Observe que nem todas as operações satisfazem essa propriedade comutativa, embora a maioria das operações comuns o faça, mas não todas. Na verdade, a adição e a multiplicação satisfazem a propriedade comutativa, mas a subtração e a divisão não.
EXEMPLO 1
Muito que a subtração comum "\(-\)" não é comutativa.
RESPONDA:
Na verdade, consideremos os números: \(8\) e \(4\). Observe aquilo:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]enquanto que
\[ \large 4 - 8 = -4 \]Portanto, \(8 - 4\) não é igual a \(4 - 8\), o que implica que a subtração "\(-\)" não é comutativa.
EXEMPLO 2
Vamos definir a seguinte operação:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]Esta operação é comutativa?
RESPONDA:
Observe aquilo
\[ a \circ b = ab+a+b\]Por outro lado, também temos
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]porque tanto a adição comum quanto a multiplicação são comutativas. Então, podemos ver que \(a \circ b = b \circ a\). Portanto, a operação "\(\circ\)" é comutativa.
Mais sobre comutatividade
A comutatividade é uma propriedade que você provavelmente já usou sem pensar muitas e muitas vezes. Você a entende desde o ensino fundamental, como uma canção de ninar: "a ordem dos fatores não altera o produto". E acho que funciona porque gruda. Se te dissessem "a multiplicação é uma operação comutativa", e aposto que vai aderir menos.
Uma coisa importante é não confundir associatividade com comutatividade. Quando nos referimos à associatividade, queremos dizer que qualquer par que operarmos primeiro, não importa. Isso é não é o mesmo como dizendo que a ordem da operação não importa, o que é propriedade da associatividade.
Por que a propriedade comutativa é importante?
o propriedade comutativa é muito importante porque permite um nível de flexibilidade no cálculo das operações que você não teria de outra forma. Existem estruturas matemáticas que não dependem da comutatividade e são até operações comuns (como subtração e divisão) que não a satisfazem. Portanto, a comutatividade é uma propriedade útil, mas nem sempre é atendida.