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Propriedade comutativa

A propriedade Comutativa é uma daquelas propriedades das operações algébricas pelas quais não hesitamos, porque geralmente é considerada um dado adquirido. A propriedade comutativa tem a ver com a ordem da operação entre dois operandos, e como não importa em que ordem os operamos, obtemos o mesmo resultado final da operação.

A propriedade comutativa é uma das pedras angulares da Álgebra e é algo que usamos o tempo todo sem saber. Fica até na nossa cabeça sem saber, quando costumamos pegar a "ordem dos fatores não altera o produto".

Em primeiro lugar, precisamos entender o conceito de operação. Em termos matemáticos, uma operação " $\circ$ " é simplesmente uma maneira de pegar dois elementos $a$ e $b$ em um determinado conjunto $E$ e fazer "algo" com eles para criar outro elemento $c$ no conjunto $E$ .

Então, quando você pega dois elementos $a$ e $b$ em um conjunto, você os opera com a operação " $\circ$ " e obtém $c$ . Você escreve isso matematicamente como $a \circ b = c$ .

Definição: Uma operação $\circ$ é comutativa se para quaisquer dois elementos $a$ e $b$ temos isso

a\circ b = b \circ a

Observe que nem todas as operações satisfazem essa propriedade comutativa, embora a maioria das operações comuns o faça, mas não todas. Na verdade, a adição e a multiplicação satisfazem a propriedade comutativa, mas a subtração e a divisão não.

EXEMPLO 1

Muito que a subtração comum " $-$ " não é comutativa.

RESPONDA:

Na verdade, consideremos os números: $8$ e $4$ . Observe aquilo:

\large 8 - 4 = 4

enquanto que

\large 4 - 8 = -4

Portanto, $8 - 4$ não é igual a $4 - 8$ , o que implica que a subtração " $-$ " não é comutativa.

EXEMPLO 2

Vamos definir a seguinte operação:

\large a\circ b = ab+a+b

Esta operação é comutativa?

RESPONDA:

Observe aquilo

a \circ b = ab+a+b

Por outro lado, também temos

b \circ a = ba+b+a = ab + a + b

porque tanto a adição comum quanto a multiplicação são comutativas. Então, podemos ver que $a \circ b = b \circ a$ . Portanto, a operação " $\circ$ " é comutativa.

Mais sobre comutatividade

A comutatividade é uma propriedade que você provavelmente já usou sem pensar muitas e muitas vezes. Você a entende desde o ensino fundamental, como uma canção de ninar: "a ordem dos fatores não altera o produto". E acho que funciona porque gruda. Se te dissessem "a multiplicação é uma operação comutativa", e aposto que vai aderir menos.

Uma coisa importante é não confundir associatividade com comutatividade. Quando nos referimos à associatividade, queremos dizer que qualquer par que operarmos primeiro, não importa. Isso é não é o mesmo como dizendo que a ordem da operação não importa, o que é propriedade da associatividade.

Por que a propriedade comutativa é importante?

o propriedade comutativa é muito importante porque permite um nível de flexibilidade no cálculo das operações que você não teria de outra forma. Existem estruturas matemáticas que não dependem da comutatividade e são até operações comuns (como subtração e divisão) que não a satisfazem. Portanto, a comutatividade é uma propriedade útil, mas nem sempre é atendida.