A propriedade associativa é uma daquelas propriedades de que não se fala muito, porque é tida como certa e é usada o tempo todo, sem saber. A propriedade associativa tem a ver com quais operandos processamos primeiro ao operar mais de dois operandos, e como não importa quais operandos operamos primeiro, em termos do resultado final da operação.

A propriedade associativa é um ponto fundamental em Álgebra e é a base da maioria das operações que realizamos diariamente, mesmo sem saber. Fazer álgebra sem a propriedade associativa, embora possível, é bastante difícil. Existem estruturas em Math nas quais a associatividade não é considerada verdadeira, mas essas são muito mais limitadas.

No cerne da propriedade associativa, precisamos primeiro entender a ideia de operação. Sem ficar muito técnico, uma operação "$\circ$" é simplesmente uma maneira de pegar dois elementos $a$ e $b$ em um determinado conjunto $E$ e fazer "algo" com eles para criar outro elemento $c$ no conjunto $E$.

Então, você pega $a$ e $b$, você os opera e obtém $c$. Essa ação pode ser colocada matematicamente como $a \circ b = c$.

É importante observar que você operou DOIS elementos, $a$ e $b$, para obter $c$. Faço uma ênfase novamente, você opera DOIS elementos, $a$ e $b$. Por enquanto, tudo bem. Então, pergunte, e se você quiser operar três elementos. Bem, você não pode, afinal de contas as operações tomar DOIS elementos, então o que você faria com o terceiro? Ou você pode?

Bem, e se você operar dois deles primeiro e, em seguida, operar o terceiro com o resultado de operar os dois primeiros elementos? Sim, isso pode ser feito. Então, digamos que você tenha três elementos $a$, $b$ e $c$ e deseja operá-los. Uma maneira é operar $a$ e $b$ primeiro, e então operar o resultado de com $c$. Isso seria $(a\circ b)\circ c$.

Observe o parêntese ali. Existe por uma razão. Ao escrever $(a\circ b)\circ c$, você está dizendo que está operando $a$ e $b$ primeiro, e ENTÃO você opera $c$. Justo. Parece uma forma satisfatória de operar $a$, $b$ e $c$. Mas é essa a única maneira? E se eu operar $b$ e $c$ primeiro, e ENTÃO eu operar $a$ com o resultado de operar $b$ e $c$. Você escreveria isso como $a\circ (b\circ c)$.

Agora, a grande questão: será o mesmo se eu operar esses três elementos da maneira mostrada acima. Obtenho o mesmo resultado final se operar os dois primeiros e o resultado for operado com o terceiro, ou se operar o primeiro elemento com os resultados da operação dos outros dois? Ou simplesmente, $(a\circ b)\circ c$ é o mesmo que $a\circ (b\circ c)$. Caros amigos, a resposta depende se a operação é associativa.

Definição: Uma operação $\circ$ é associativa se para quaisquer três elementos $a$, $b$ e $c$, temos isso

Nem todas as operações satisfazem esta propriedade associativa, a maioria sim, mas algumas não. As operações mais comuns, as que conhecemos, satisfazem a associatividade, como a soma ou multiplicação

EXEMPLO 1

Verifique alguns números para se convencer de que a associatividade é encontrada para a soma comum "$+$".

RESPONDA:

Por exemplo, vamos considerar 3 números: $8$, $4$ e $7$. Vamos verificar se a associatividade é satisfeita ou não para esses dados. Notar que:

Por outro lado, temos que

Portanto, neste caso $(8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)$.

A propriedade associativa usada para definir operações com mais de dois operandos

Portanto, nem todas as operações são associativas, mas a maioria das que conhecemos são. Quando a associatividade é satisfeita, podemos definir, sem ambigüidade, uma operação de mais de dois operandos. Para simplificar, basta escrever $a \circ b \circ c$, sem parênteses, pois devido à propriedade de associatividade, sabemos que não importa como agrupamos os operandos, obteremos o mesmo resultado final da operação.

EXEMPLO 2

Vamos definir a seguinte operação:

Esta operação é associativa?

RESPONDA:

Notar que

Por outro lado, temos que

Portanto, nem sempre é verdade que $\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right)$. Portanto, uma operação "$\circ$" não é associativa.