Propriedade associativa
A propriedade associativa é uma daquelas propriedades de que não se fala muito, porque é tida como certa e é usada o tempo todo, sem saber. A propriedade associativa tem a ver com quais operandos processamos primeiro ao operar mais de dois operandos, e como não importa quais operandos operamos primeiro, em termos do resultado final da operação.
A propriedade associativa é um ponto fundamental em Álgebra e é a base da maioria das operações que realizamos diariamente, mesmo sem saber. Fazer álgebra sem a propriedade associativa, embora possível, é bastante difícil. Existem estruturas em Math nas quais a associatividade não é considerada verdadeira, mas essas são muito mais limitadas.
No cerne da propriedade associativa, precisamos primeiro entender a ideia de operação. Sem ficar muito técnico, uma operação "\(\circ\)" é simplesmente uma maneira de pegar dois elementos \(a\) e \(b\) em um determinado conjunto \(E\) e fazer "algo" com eles para criar outro elemento \(c\) no conjunto \(E\).
Então, você pega \(a\) e \(b\), você os opera e obtém \(c\). Essa ação pode ser colocada matematicamente como \(a \circ b = c\).
É importante observar que você operou DOIS elementos, \(a\) e \(b\), para obter \(c\). Faço uma ênfase novamente, você opera DOIS elementos, \(a\) e \(b\). Por enquanto, tudo bem. Então, pergunte, e se você quiser operar três elementos. Bem, você não pode, afinal de contas as operações tomar DOIS elementos, então o que você faria com o terceiro? Ou você pode?
Bem, e se você operar dois deles primeiro e, em seguida, operar o terceiro com o resultado de operar os dois primeiros elementos? Sim, isso pode ser feito. Então, digamos que você tenha três elementos \(a\), \(b\) e \(c\) e deseja operá-los. Uma maneira é operar \(a\) e \(b\) primeiro, e então operar o resultado de com \(c\). Isso seria \((a\circ b)\circ c\).
Observe o parêntese ali. Existe por uma razão. Ao escrever \((a\circ b)\circ c\), você está dizendo que está operando \(a\) e \(b\) primeiro, e ENTÃO você opera \(c\). Justo. Parece uma forma satisfatória de operar \(a\), \(b\) e \(c\). Mas é essa a única maneira? E se eu operar \(b\) e \(c\) primeiro, e ENTÃO eu operar \(a\) com o resultado de operar \(b\) e \(c\). Você escreveria isso como \(a\circ (b\circ c)\).
Agora, a grande questão: será o mesmo se eu operar esses três elementos da maneira mostrada acima. Obtenho o mesmo resultado final se operar os dois primeiros e o resultado for operado com o terceiro, ou se operar o primeiro elemento com os resultados da operação dos outros dois? Ou simplesmente, \((a\circ b)\circ c\) é o mesmo que \(a\circ (b\circ c)\). Caros amigos, a resposta depende se a operação é associativa.
Definição: Uma operação \(\circ\) é associativa se para quaisquer três elementos \(a\), \(b\) e \(c\), temos isso
\[ (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)\]Nem todas as operações satisfazem esta propriedade associativa, a maioria sim, mas algumas não. As operações mais comuns, as que conhecemos, satisfazem a associatividade, como a soma ou multiplicação
EXEMPLO 1
Verifique alguns números para se convencer de que a associatividade é encontrada para a soma comum "\(+\)".
RESPONDA:
Por exemplo, vamos considerar 3 números: \(8\), \(4\) e \(7\). Vamos verificar se a associatividade é satisfeita ou não para esses dados. Notar que:
\[ \large (8 + 4) + 7 = 12 + 7 = 19 \]Por outro lado, temos que
\[ \large 8 + (4 + 7) = 8 + 11 = 19 \]Portanto, neste caso \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).
A propriedade associativa usada para definir operações com mais de dois operandos
Portanto, nem todas as operações são associativas, mas a maioria das que conhecemos são. Quando a associatividade é satisfeita, podemos definir, sem ambigüidade, uma operação de mais de dois operandos. Para simplificar, basta escrever \(a \circ b \circ c\), sem parênteses, pois devido à propriedade de associatividade, sabemos que não importa como agrupamos os operandos, obteremos o mesmo resultado final da operação.
EXEMPLO 2
Vamos definir a seguinte operação:
\[ \large a\circ b = ab+a-b \]Esta operação é associativa?
RESPONDA:
Notar que
\[\left( a\circ b \right)\circ c=\left( ab+a-b \right)\circ c= \left( ab+a-b \right)c+ab+a+b-c\] \[= abc+ac-bc+ab+a+b-c\]Por outro lado, temos que
\[a\circ \left( b\circ c \right) = a\circ \left( bc+b-c \right)=a\left( bc+b-c \right)+a+bc+b-c\] \[= abc - ac + bc + ab + a + b - c\]Portanto, nem sempre é verdade que \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). Portanto, uma operação "\(\circ\)" não é associativa.
Mais sobre associatividade
A associatividade é uma daquelas coisas que você dá como certa e basicamente um usa sem sabre. Por exemplo, quando você pediu \(1 + 2 + 3\), está implicitamente assumindo que a associatividade é satisfeita, porque caso contrário, você precisaria especificar se quer dizer \((1 + 2) + 3\) ou \(1 + (2 + 3)\). Quando há associatividade, o parêntese não importa porque você obtém o mesmo resultado, então você apenas pede \(1 + 2 + 3\).
Por favor, não confunda associatividade com comutatividade . Quando dizemos que a associatividade é satisfeita, não importa qual par você opera first. Isso é não é o mesmo como dizer que uma ordem de operação não importa, o que é uma coisa diferente (e é chamada de propriedade de comutatividade).
Por que a propriedade associativa é importante?
A propriedade associativa é muito importante porque permite flexibilidade para conduzir o procedimento de mais de dois operandos, de forma que não importa qual par de operandos é operado primeiro, não sendo necessário parênteses. Para algumas operações, a associatividade não é atendida, o que é bom, mas a falta de associatividade torna tudo mais complicado.