Algebra Tutorial

L'iperbole

Un'iperbole è il luogo geometrico dei punti negli assi delle coordinate che hanno la proprietà che la differenza tra le distanze di due punti fissi (i fuochi), è uguale a una costante, che chiamiamo $2a$ .

Naturalmente, suona un po 'intimidatorio e troppo tecnico, ma è davvero il modo in cui viene definita un'iperbole.

Forse, se ti dessi l'equazione di un'iperbole, la "riconosceresti".

Proviamo: questa è l'equazione di un'iperbole molto generale:

\large \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Puoi capire come appare controllando la sua equazione? Probabilmente no. Quindi presento l'iperbole, graficamente per te:

Il grafico sopra mostra solo il grafico dell'iperbole, ma ci sono molti altri elementi di cui devi essere consapevole, come gli asintoti inclinati, i vertici e i fuochi. Controlla il grafico sotto.

Iperbole con i suoi fuochi, vertici e asintoti inclinati

L'equazione generale dell'iperbole

Senza molta discussione teorica, affermeremo che l'equazione generale dell'iperbole con fuochi sull'asse x è

\large \displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Per l'iperbole descritta dall'equazione precedente, ha vertici nei punti $(-a, 0)$ e $(a, 0)$ e ha fuochi nei punti $(-c, 0)$ e $(c, 0)$ , dove $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Una caratteristica interessante di questa iperbole è che ha due asintoti inclinati

Asintoto 1 : $\displaystyle y = \frac{b}{a}x$

Asintoto 2 : $\displaystyle y = -\frac{b}{a}x$

Ora cosa succede con l'equazione dell'iperbole, se invece i vertici vengono traslati di un dato punto $(k,h)$ ?

Tutto quello che devi fare in questo caso è sostituire $x$ con $x-k$ e sostituire $y$ con $x-h$ .

Quindi, facendo una traduzione, otteniamo che l'equazione di un'iperbole generale è

\large \boxed{\displaystyle \frac{(x-k)^2}{a^2} - \frac{(y-h)^2}{b^2} = 1 }

L'iperbole di cui sopra ha vertici nei punti $(k-a, h)$ e $(k+a, h)$ e ha foci nei punti $(k-c, h)$ e $(k+c, h)$ , dove $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Le equazioni degli asintoti di inclinazione sono $y = \frac{b}{a}(x-k) + h$ e $y = -\frac{b}{a}(x-k) + h$ .

Cosa succede con le iperboli che si aprono lungo l'asse y?

Per simmetria, tutto ciò che dobbiamo fare è semplicemente sostituire i ruoli di $x$ e $y$ nell'equazione generale dell'iperbole che già abbiamo. In pratica, questo significa che ogniqualvolta $x$ appare nell'equazione della parabola che abbiamo, lo cambiamo $y$ e viceversa per $y$ .

Quindi, nel caso di un'iperbole che apre lungo l'asse x, l'equazione generale è

\large \boxed{\displaystyle \frac{(y-h)^2}{b^2} - \frac{(x-k)^2}{a^2} = 1 }

L'iperbole di cui sopra ha vertici nei punti $(k, h - b)$ e $(k, h+b$ e ha foci nei punti $(k, h-c)$ e $(k, h+c)$ , dove $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Le equazioni degli asintoti di inclinazione sono $y = \frac{b}{a}(x-k) + h$ e $y = -\frac{b}{a}(x-k) + h$ .

ESEMPIO 1

Trova i fuochi, i vertici e gli asintoti obliqui dell'iperbole:

\large \displaystyle \frac{(y-2)^2}{9} - \frac{(x-4)^2}{16} = 1

RISPOSTA:

Questa iperbole si apre lungo l'asse y. In questo caso, i valori di traduzione sono $k = 4$ e $h = 2$ . Inoltre, otteniamo $a = \sqrt{16} = 4$ e $b = \sqrt{9} = 3$ . Quindi, otteniamo quel $c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Quindi, i fuochi sono $(k, h-c) = (4, 2 - 5) = (4, -3)$ e $(k, h+c) = (4, 2 + 5) = (4, 7)$ .

I vertici sono $(k, h-b) = (4, 2 - 3) = (4, -1)$ e $(k, h+b) = (4, 2 + 3) = (4, 5)$ .

Gli asintoti inclinati sono

\displaystyle y = \frac{b}{a}(x-k) + h = \frac{3}{4}(x-4) + 2

\displaystyle y = -\frac{b}{a}(x-k) + h = \frac{3}{4}(x-4) + 2

Graficamente:

ESEMPIO 2

Trova l'equazione dell'iperbole con fuochi a $(-4, 0)$ e $(4, 0)$ vertice, concentrati su $(6, 0$ .

RISPOSTA:

Si noti che i fuochi e i vertici sono sull'asse x, quindi l'iperbole si apre lungo l'asse x. Inoltre, poiché i fuochi sono simmetrici rispetto all'origine, e un vertice è $(4, 0)$ , otteniamo $a = 4$ . E poiché un focus è su $(6, 0)$ , otteniamo quel $b = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5$ .

Pertanto, l'equazione dell'iperbole è:

\large \displaystyle \frac{(y-h)^2}{b^2} - \frac{(x-k)^2}{a^2} = 1

\large \displaystyle \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1

L'iperbole e le sezioni coniche generali

Come nel caso della parabola, l'iperbole è strettamente correlata al cono. Infatti un matematico greco di nome Apollonio è quello che ha scoperto questa connessione, comprendendo il concetto di sezioni coniche.

Una sezione conica si verifica quando si esegue un taglio di un cono con un piano e, a seconda dell'angolo relativo del cono e del piano nel punto di taglio, il cono viene tagliato in modo che la sezione trasversale abbia una forma specifica .

Quindi, a seconda dell'angolo di taglio relativo, abbiamo diverse forme della sezione, e queste sono la parabola, il cerchio, l'ellisse e l'iperbole. Vedi il grafico sotto:

Altro sull'iperbole

Un'iperbole con vertice all'origine, che si apre lungo l'asse x ha l'equazione $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$ , mentre un'iperbole, che si apre lungo l'asse y ha l'equazione $\displaystyle \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ .

Quindi, un vertice generale può essere ottenuto semplicemente applicando una traduzione a un dato punto $(k, h)$ .

Applicazioni

L'iperbole ha molte applicazioni nel mondo pratico, così come nell'astronomia. Una differenza con la parabola è che l'iperbole ha asintoti obliqui, che la parabola non ha.

Algebricamente parlando, un'iperbole assomiglia a un'ellisse molto più di una parabola, sebbene la differenza di segno con l'ellisse faccia un mondo di differenza nella sua forma e proprietà.

Un altro tipo importante di sezione conica è la parabola, di cui puoi imparare in questo tutorial . Inoltre, puoi anche imparare tutto quello che c'è da fare conoscere il cerchio e l'ellisse .