Algebra Tutorial

L'Ellisse

Un'ellisse è la posizione geometrica dei punti negli assi delle coordinate che hanno la proprietà che la somma delle distanze di un dato punto dell'ellisse a due punti fissi (i fuochi) è uguale a una costante, che denominiamo $2a$ .

Il concetto di "luogo geometrico" è molto interessante da un punto di vista concettuale, ma potrebbe non darti una visione chiara di ciò che stai cercando di rappresentare.

Prova a fare l'esercizio di guardare l'equazione qui sotto e vedi se riesci a capire come appare graficamente;

\large \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Potresti capire come funziona il grafico semplicemente guardando l'equazione sopra. Così ho pensato. Lascia che ti presenti l'ellisse:

L'equazione generale dell'ellisse

Senza molta discussione teorica, affermeremo che l'equazione generale dell'ellisse con centro all'origine e con fuochi sull'asse x, per $a \ge b$ è

\large \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Per l'ellisse sopra descritta, ha fuochi nei punti $(-c, 0)$ e $(c, 0)$ , dove $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ .

Ora cosa succede con l'equazione dell'iperbole sopra quando $b > a$ ?

In tal caso, i fuochi sono sull'asse y, e sono $(0, -c)$ e $(0, c)$ , dove $c = \sqrt{b^2 - a^2}$ .

Ora, se volessimo spostare il centro in un punto $(k,h)$ ?

Tutto quello che devi fare in questo caso è sostituire $x$ con $x-k$ e sostituire $y$ con $x-h$ .

Quindi, facendo una traduzione, otteniamo che l'equazione di un'ellisse generale è

\large \boxed{\displaystyle \frac{(x-k)^2}{a^2} + \frac{(y-h)^2}{b^2} = 1 }

L'ellisse sopra ha un centro in $(k,h)$ e ha fuochi in $(k-c, h)$ e $(k+c, h)$ dove $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ per $a \ge b$ e $(k, h-c)$ e $(k, h+c)$ dove $c = \sqrt{b^2 - a^2}$ per $b>a$ .

ESEMPIO 1

Trova i fuochi, dell'ellisse:

\large \displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1

RISPOSTA:

Innanzitutto, in base alla struttura dell'equazione precedente, l'ellisse è centrata all'origine $(0, 0)$ . Si noti che il semiasse maggiore è 4, che è associato a $9y$ , quindi i fuochi si trovano sull'asse y.

Dall'equazione abbiamo ottenuto che $a^2 = 9$ e $b^2 = 16$ . Troviamo che $c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt 7$ . Pertanto, i fuochi sono in $(0, -\sqrt{7})$ e $(0, \sqrt{7})$ .

ESEMPIO 2

Trova l'equazione dell'ellisse centrata su $(0, 2)$ con un focus su $(6, 2)$ e un semiasse minore con una dimensione di 3.

RISPOSTA:

Sulla base delle informazioni fornite, $c = 6 - 0 = 6$ . Poiché i fuochi sono paralleli all'asse x, otteniamo $b = 3$ e quindi $a = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27}$

Quindi, l'equazione dell'ellisse è:

\large \displaystyle \frac{x^2}{27} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1

L'ellisse e le sezioni coniche generali

Come nel caso della parabola, dell'iperbole e del cerchio, l'ellisse è strettamente correlata al cono. L'antico matematico greco di nome Apollonio ha scoperto questa connessione, con ciò che viene chiamato sezioni coniche .

Una sezione conica corrisponde alle forme che si quando si esegue un taglio attraverso un cono con un piano e, a seconda dell'angolo relativo del cono e del piano, la forma della sezione trasversale cambia.

Infatti, una seconda dell'angolo in cui il cono e il piano sono rivolti l'uno verso l'altro, la forma della sezione trasversale può essere una parabola, un cerchio, un'ellisse o un'iperbole. Questo è illustrato nel grafico sottostante:

Ulteriori informazioni sull'ellisse

Per un'ellisse con l'equazione $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ , con $a \ge b$ , $a$ è chiamato semiasse maggiore e $b$ è chiamato semiasse minore.

Ora per $b > a$ , quella denominazione è invertita, quindi $a$ verrebbe chiamato semiasse minore e $b$ è chiamato semiasse maggiore.

Eccentricità

L'eccentricità di un'ellisse viene calcolata utilizzando la seguente formula:

\displaystyle e = \sqrt{1 - \left( \frac{b}{a}\right)^2}

Questo parametro di eccentricità indica quanto la forma dell'ellisse si discosta da una versione simmetrica dell'ellisse (che è il cerchio, che ha eccentricità $e = 1$ ).

Applicazioni

L'ellisse ha così tante applicazioni. Nella scienza, è ampiamente utilizzato in astronomia. In effetti, i pianeti descrivono orbite ellittiche attorno al sole.

Algebricamente un'ellisse assomiglia molto a un'iperbole, ma le loro proprietà sono radicalmente diverse.

Potresti anche essere interessato a conoscere la parabola, per la quale puoi controllare questo tutorial . Puoi anche dare un'occhiata al nostro tutorial iperbole . Infine, puoi anche imparare tutto quello che c'è da fare conoscere il cerchio .