Maggiori informazioni sul metodo di eliminazione per risolvere i sistemi lineari

Puoi risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando diverse alternative, ognuna con i propri vantaggi (e svantaggi).

Quando hai due equazioni e due variabili, in genere puoi usare il metodo grafico per la risoluzione del sistema che è essenzialmente il metodo per trovare soluzioni trovando l'intersezione tra due rette.

Oppure puoi usare il metodo di sostituzione per risolvere i sistemi , che tenta di risolvere prima da una variabile in termini dell'altra in modo da utilizzare poi quella sostituzione per sostituire nell'altra equazione e risolvere per una variabile.

Come si risolve il sistema di equazioni per sostituzione?

L'approccio è molto semplice: 1) Scegli una delle due equazioni, per la quale è facile risolvere per qualsiasi $x$ o $y$, e risolvi per quella variabile, in termini dell'altra variabile.

Spesso vengono fornite equazioni come ad esempio "$x = 2y + 3$" dove è già risolto per $x$ o ad esempio "$y = 2x + 3$" dove è già risolto per $y$

2) Ora che hai risolto per una variabile in una delle equazioni, usa quella variabile per cui risolvi e inseriscila nell'altra equazione.

3) Questa equazione sarà nei termini dell'altra variabile (non quella per cui hai risolto l'originale), quindi la risolverai e otterrai un risultato numerico.

4) Con il risultato numerico trovato per l'altra variabile, torna alla variabile originale per cui hai risolto e inserisci il valore che hai appena risolto numericamente

È un calcolatore di eliminazione gaussiana

Non esattamente, ma l'idea è la stessa: eliminare le variabili trovando equazioni equivalenti (amplificando) e aggiungendole per ridurre il numero di variabili.

Per un sistema 2x2, il metodo di eliminazione sceglie una variabile da eliminare utilizzando una trasformazione e un'operazione algebrica appropriate.

Tecnicamente, puoi applicare questo metodo in modo da risolvere 3 equazioni usando un calcolo di eliminazione, ma questo calcolatore è specifico per i sistemi 2x2.

Calcolatore del metodo di eliminazione con passaggi

Come risolvere un sistema di equazioni per eliminazione? Questa calcolatrice ti mostrerà tutti i passaggi necessari per risolvere un sistema di equazioni usando il metodo di eliminazione.

Il passaggio cruciale è determinare quale variabile verrà eliminata, poiché la scelta corretta della variabile può semplificare notevolmente il calcolo.

Quali sono i passaggi per il metodo di eliminazione?

1) Innanzitutto, decidi quale variabile eliminerai.

2) In secondo luogo, decidi come eliminare, in modo da amplificare e utilizzare le equazioni per condurre l'eliminazione.

3) Terzo, una volta eliminata una delle variabili, risolvere per l'altra variabile .

4) Quarto e ultimo, una volta che hai risolto per una delle variabili, inseriscila in una qualsiasi delle equazioni (la più semplice) in modo da risolvere per la variabile rimanente .

Esempio: sistema di equazioni di eliminazione con passaggi

Supponiamo di avere il seguente sistema di equazioni:

$$\begin{matrix} \displaystyle 2x+2y & = & 5\\\\\displaystyle x-y & = & 2 \end{matrix}$$

Utilizzare il metodo di sostituzione per risolvere il suddetto sistema di equazioni lineari.

Soluzione:

Passaggio 1: selezionare la variabile da eliminare

Moltiplicando la seconda equazione per $2$ otteniamo:

$$\begin{matrix} 2x+2y & = & 5\\\\2x-2y & = & 4 \end{matrix}$$

Ora, una volta che abbiamo amplificato le equazioni originali, sottraendo la prima equazione dalla seconda si ottiene

$$2x-2y-\left(2x+2y\right)=4-5$$ $$\Rightarrow -4y=-1$$

Dall'equazione sopra troviamo direttamente che dividendo entrambi i lati dell'equazione per $\displaystyle -4$ otteniamo

$$y = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$$ Passaggio 2: collega il valore trovato nell'altra equazione

Ora, ricolleghiamo $\displaystyle y = \frac{1}{4}$ nell'altra equazione

$$2x+2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)=5$$ $$\Rightarrow 2x+\frac{1}{2}=5$$

Mettendo $x$ sul lato sinistro e le costanti sul lato destro otteniamo

$$\displaystyle 2 x = 5 - \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \displaystyle 2x = \frac{9}{2}$$

Ora, risolvendo per $x$, dividendo entrambi i lati dell'equazione per $2$, si ottiene quanto segue

$$\displaystyle x = \displaystyle \frac{ \frac{9}{2}}{ 2}$$

e semplificando si ottiene la seguente formula

$$\displaystyle x=\frac{9}{4}$$ Passaggio 3: controlla le soluzioni trovate ricollegando le equazioni originali

Verificheremo se le soluzioni trovate soddisfano effettivamente le equazioni.

We plug $\displaystyle x = \frac{9}{4}$ and $\displaystyle y = \frac{1}{4}$ into the provided equations and we get