Maggiori informazioni sul metodo di eliminazione per risolvere i sistemi lineari

Puoi risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando diverse alternative, ognuna con i propri vantaggi (e svantaggi).

Quando hai due equazioni e due variabili, in genere puoi usare il metodo grafico per la risoluzione del sistema che è essenzialmente il metodo per trovare soluzioni trovando l'intersezione tra due rette.

Oppure puoi usare il metodo di sostituzione per risolvere i sistemi , che tenta di risolvere prima da una variabile in termini dell'altra in modo da utilizzare poi quella sostituzione per sostituire nell'altra equazione e risolvere per una variabile.

Come si risolve il sistema di equazioni per sostituzione?

L'approccio è molto semplice: 1) Scegli una delle due equazioni, per la quale è facile risolvere per qualsiasi \(x\) o \(y\), e risolvi per quella variabile, in termini dell'altra variabile.

Spesso vengono fornite equazioni come ad esempio "\(x = 2y + 3\)" dove è già risolto per \(x\) o ad esempio "\(y = 2x + 3\)" dove è già risolto per \(y\)

2) Ora che hai risolto per una variabile in una delle equazioni, usa quella variabile per cui risolvi e inseriscila nell'altra equazione.

3) Questa equazione sarà nei termini dell'altra variabile (non quella per cui hai risolto l'originale), quindi la risolverai e otterrai un risultato numerico.

4) Con il risultato numerico trovato per l'altra variabile, torna alla variabile originale per cui hai risolto e inserisci il valore che hai appena risolto numericamente

È un calcolatore di eliminazione gaussiana

Non esattamente, ma l'idea è la stessa: eliminare le variabili trovando equazioni equivalenti (amplificando) e aggiungendole per ridurre il numero di variabili.

Per un sistema 2x2, il metodo di eliminazione sceglie una variabile da eliminare utilizzando una trasformazione e un'operazione algebrica appropriate.

Tecnicamente, puoi applicare questo metodo in modo da risolvere 3 equazioni usando un calcolo di eliminazione, ma questo calcolatore è specifico per i sistemi 2x2.

Calcolatore del metodo di eliminazione con passaggi

Come risolvere un sistema di equazioni per eliminazione? Questa calcolatrice ti mostrerà tutti i passaggi necessari per risolvere un sistema di equazioni usando il metodo di eliminazione.

Il passaggio cruciale è determinare quale variabile verrà eliminata, poiché la scelta corretta della variabile può semplificare notevolmente il calcolo.

Quali sono i passaggi per il metodo di eliminazione?

1) Innanzitutto, decidi quale variabile eliminerai.

2) In secondo luogo, decidi come eliminare, in modo da amplificare e utilizzare le equazioni per condurre l'eliminazione.

3) Terzo, una volta eliminata una delle variabili, risolvere per l'altra variabile .

4) Quarto e ultimo, una volta che hai risolto per una delle variabili, inseriscila in una qualsiasi delle equazioni (la più semplice) in modo da risolvere per la variabile rimanente .

Esempio: sistema di equazioni di eliminazione con passaggi

Supponiamo di avere il seguente sistema di equazioni:

\[\begin{matrix} \displaystyle 2x+2y & = & 5\\\\\displaystyle x-y & = & 2 \end{matrix} \]

Utilizzare il metodo di sostituzione per risolvere il suddetto sistema di equazioni lineari.

Soluzione:

Passaggio 1: selezionare la variabile da eliminare

Moltiplicando la seconda equazione per \(2\) otteniamo:

\[\begin{matrix} 2x+2y & = & 5\\\\2x-2y & = & 4 \end{matrix} \]

Ora, una volta che abbiamo amplificato le equazioni originali, sottraendo la prima equazione dalla seconda si ottiene

\[2x-2y-\left(2x+2y\right)=4-5\] \[\Rightarrow -4y=-1\]

Dall'equazione sopra troviamo direttamente che dividendo entrambi i lati dell'equazione per \(\displaystyle -4\) otteniamo

\[y = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}\] Passaggio 2: collega il valore trovato nell'altra equazione

Ora, ricolleghiamo \(\displaystyle y = \frac{1}{4}\) nell'altra equazione

\[2x+2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)=5\] \[\Rightarrow 2x+\frac{1}{2}=5\]

Mettendo \(x\) sul lato sinistro e le costanti sul lato destro otteniamo

\[\displaystyle 2 x = 5 - \frac{1}{2}\] \[\Rightarrow \displaystyle 2x = \frac{9}{2}\]

Ora, risolvendo per \(x\), dividendo entrambi i lati dell'equazione per \(2\), si ottiene quanto segue

\[\displaystyle x = \displaystyle \frac{ \frac{9}{2}}{ 2}\]

e semplificando si ottiene la seguente formula

\[\displaystyle x=\frac{9}{4}\] Passaggio 3: controlla le soluzioni trovate ricollegando le equazioni originali

Verificheremo se le soluzioni trovate soddisfano effettivamente le equazioni.

We plug \(\displaystyle x = \frac{9}{4}\) and \(\displaystyle y = \frac{1}{4}\) into the provided equations and we get