La regola di Cramer è una tecnica utilizzata per risolvere sistematicamente sistemi di equazioni lineari, basati sui calcoli dei determinanti.

Tipicamente, risolvendo sistemi di equazioni lineari può essere complicato per i sistemi più grandi di 2x2, perché ci sono molti modi per aggirare il problema quando ci sono tre o più variabili.

La regola di Cramer fornisce un modo inequivocabile e sistematico per trovare soluzioni a sistemi di equazioni lineari, indipendentemente dalle dimensioni del sistema.

Il numero di calcoli richiesti aumenta per i sistemi di grandi dimensioni, ma la procedura è esattamente la stessa, indipendentemente dalle dimensioni del sistema.

Come usare la regola di Cramer

Per rendere le cose più facili, elaboreremo il caso per $n = 2$ e poi stabiliremo una versione più generale che, si spera, avrà più senso dopo aver affrontato il caso $n=2$.

Passo 1 : Tutti i sistemi lineari 2x2 possono essere scritti nella seguente forma:

Quindi il tuo primo passo è trovare questi valori $a_1, b_1, c_1$ e $a_2, b_2, c_2$ per il sistema che vuoi risolvere.

Passo 2 : Dopo aver ottenuto i coefficienti $a_1, b_1, c_1$ e $a_2, b_2, c_2$, utilizzare le seguenti formule per risolvere $x$ e $y$:

Nella formula sopra, dove si dice "det", significa il determinante della matrice corrispondente. A volte, per i determinanti viene utilizzata una notazione più compatta, come mostrato di seguito:

Quindi, usando la notazione sopra, otterremmo queste formule più compatte per la regola di Cramer:

Cerchiamo di avere un modo visivo per capire cosa sta succedendo. Osserva che sia $x$ che $y$ hanno lo stesso determinante nel denominatore.

I coefficienti di quella matrice comune usata nel denominatore derivano direttamente dai coefficienti che moltiplicano $x$ e $y$ nel sistema. Guarda l'immagine qui sotto:

Ora vediamo che $x$ e $y$ differiscono per ciò che hanno al numeratore. Come modo per ricordare la regola, pensa a questo:

Per $x$, usi la matrice STESSA come quella nel denominatore, solo che sostituisci la PRIMA colonna con i coefficienti $c_1$ e $c_2$. Vedi l'immagine sotto

Per $y$, usi la matrice STESSA come quella nel denominatore, solo che sostituisci la SECONDA colonna con i coefficienti $c_1$ e $c_2$. Vedi l'immagine sotto

ESEMPIO 1

Risolvi il seguente sistema lineare 2x2:

RISPOSTA:

Seguiamo i due passaggi che abbiamo delineato sopra per utilizzare la regola di Cramer per risolvere il sistema sopra:

Passo 1 : Dobbiamo identificare i coefficienti per i determinanti corrispondenti.

Per la matrice che va nel denominatore usiamo

Ora, in questo caso $c_1 = 10, c_2 = 4$, per il determinante utilizzato per calcolare $x$, sostituiamo la matrice precedente cambiando la PRIMA colonna:

Per il determinante utilizzato per calcolare $y$ sostituiamo la matrice precedente cambiando la SECONDA colonna:

Quindi ora otteniamo la soluzione:

e per $y$:

Pertanto, la soluzione è $x = 3$, $y = 1/2$.

Regola di Cramer per il caso generale

La bellezza della regola di Cramer è che applica esattamente la stessa procedura, sia che si tratti di un sistema 2x2 che di un sistema 10x10. Il concetto è lo stesso.

Quindi, supponiamo che $x_1, x_2, ..., x_n$ siano le variabili (le incognite) e vogliamo risolvere il seguente sistema n x n di equazioni lineari:

Per risolvere per $x_1, x_2, ..., x_n$, useremo il seguente determinante sul denominatore:

• La soluzione per $x_1$ è

• La soluzione per $x_2$ è

E così via. Come puoi vedere, il determinante nel denominatore è lo stesso e quello nel numeratore si ottiene cambiando la prima colonna con $(c_1, ..., c_n)$ per $x_1$. Per $x_2$ cambiamo la seconda colonna di $(c_1, ..., c_n)$, per $x_3$ cambiamo la terza colonna e così via. Hai avuto l'idea.

ESEMPIO 2

Risolvi il seguente sistema di equazioni lineari 3x3 usando la regola di Cramer.

RISPOSTA:

Innanzitutto, identifichiamo il determinante che va nel denominatore:

Inoltre, dobbiamo identificare il vettore dei coefficienti $c_i$:

Questo vettore sarà quello che sostituirà le colonne corrispondenti del determinante comune dal denominatore. Noi abbiamo: