Calcolatrice per matrici invertibili

Uno degli elementi centrali dell'algebra lineare è il concetto di matrice. Le matrici sono matrici di numeri organizzati in righe e colonne.

Le operazioni matriciali possono essere definite in modo intuitivo, soprattutto quando si sommano o si sottraggono matrici, che alla fine non fanno altro che sommare e sottrarre componente per componente.

L'idea di moltiplicazione di matrici è un po' meno intuitivo per i non iniziati ma, dovete fidarvi di me, ci sono buone ragioni per cui la moltiplicazione matriciale è definita nel modo in cui è definita.

A cosa serve la matrice inversa?

• Quando una matrice è invertibile, si può calcolare la sua inversa
• È possibile utilizzare l'inverso per spostare liberamente la matrice "dall'altra parte dell'equazione"
• Questo permette di risolvere semplicemente un sistema di equazioni con trovare l'inversa di una matrice

Qual è l'inverso di una matrice?

Le matrici quadrate (cioè le matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne) possono essere invertibili o meno.

Affinché una matrice \(A\) sia invertibile, significa che esiste un'altra matrice \(B\) tale che il prodotto di \(A\) e \(B\) è uguale alla matrice identità (una matrice speciale con gli uno nella diagonale e gli zeri fuori dalla diagonale).

Perché si dovrebbe essere interessati a sapere se una matrice è invertibile o meno? È una buona domanda. Quando la matrice è invertibile, possiamo "passare la matrice dall'altra parte", come faremmo con una semplice equazione con i numeri.

In questo caso, è possibile trovare l'inversa della matrice e si "passa" l'inverso della matrice all'altro lato dell'equazione

In termini pratici, se si ha un'equazione matriciale \( Ax = b \), e \(A\) è invertibile, allora l'equazione ha una soluzione unica, che può essere scritta come \(x = A^{-1} b\), dove \(A^{-1}\) è la matrice inversa di A, nell'ipotesi che esista.

Quando una matrice è invertibile?

Esistono moltissimi modi per stabilire se una matrice è invertibile o meno. È possibile applicare diversi "test" per stabilire se una matrice è invertibile o meno. Il test scelto dipende talvolta dalla struttura della matrice.

Un test comunemente usato per valutare se una matrice è invertibile è quello di calcolare prima la determinante della matrice . Se il determinante è diverso da zero, allora la matrice è invertibile. Ma se è zero, allora la matrice NON è invertibile. Piuttosto semplice, no?

Una matrice è invertibile 3x3? Come sapere

Innanzitutto, poiché 3x3 è una matrice quadrata, è un candidato per verificare la sua invertibilità (le matrici non quadrate vengono scartate subito)

Tutte le matrici 2x2 sono invertibili?

Non è affatto così. Ci sono molte matrici 2x2 che non sono invertibili. Ad esempio, la matrice

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

è un semplice esempio di matrice 2x2 non invertibile.

Come si fa a sapere se una matrice è invertibile senza determinante?

Come abbiamo detto in precedenza, ci sono molti test per valutare se una matrice è invertibile o meno, e non tutti i metodi utilizzano il determinante

Un metodo da seguire è quello di utilizzare il metodo di Gauss (utilizzando l'operazione delle matrici elementari) per convertire la matrice in forma di righe-echelon e una volta fatto questo, si esamina la diagonale della forma riga-echelon: se tutte le diagonali sono non nulle, allora la matrice è invertibile, mentre se QUALSIASI elemento della diagonale della forma echelon è nullo, allora la matrice non è invertibile.

Esempio: Invertibilità di una matrice

Question: Si supponga di avere la seguente matrice:

\[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]

Soluzione: Dobbiamo determinare se la matrice \(3 \times 3\) che ci è stata fornita è invertibile o meno.

Fase 1: Metodo utilizzato

Esistono diversi metodi per determinare se una matrice è invertibile o meno. Il metodo che utilizzeremo in questo caso è il metodo del determinante.

In parole povere, calcoleremo il determinante e se il determinante è diverso da zero, allora la matrice è invertibile, ma se è uguale a zero, allora la matrice non è invertibile.

Fase 2: Calcolo del determinante

Utilizzando la formula del sottodeterminante si ottiene:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \cdot \left( 3 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 11 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( -7 \right) = 7\]

Fase 3: Conclusione

Concludiamo che, poiché \(\det A = \displaystyle 7 \ne 0\), la matrice data è invertibile.