Risolutori Algebra

Calcolatrice per matrici invertibili

Istruzioni: Utilizzate questo calcolatore di matrici invertibili per determinare se una data matrice è invertibile o meno, mostrando tutti i passaggi. Innanzitutto, fate clic su uno dei pulsanti sottostanti per specificare la dimensione della matrice di cui volete valutare l'invertibilità.

Quindi, fare clic sulla prima cella e digitare il valore; spostarsi all'interno della matrice premendo "TAB" o facendo clic sulle celle corrispondenti, per definire TUTTI i valori della matrice.

Calcolatrice per matrici invertibili

Uno degli elementi centrali dell'algebra lineare è il concetto di matrice. Le matrici sono matrici di numeri organizzati in righe e colonne.

Le operazioni matriciali possono essere definite in modo intuitivo, soprattutto quando si sommano o si sottraggono matrici, che alla fine non fanno altro che sommare e sottrarre componente per componente.

L'idea di moltiplicazione di matrici è un po' meno intuitivo per i non iniziati ma, dovete fidarvi di me, ci sono buone ragioni per cui la moltiplicazione matriciale è definita nel modo in cui è definita.

A cosa serve la matrice inversa?

Quando una matrice è invertibile, si può calcolare la sua inversa
È possibile utilizzare l'inverso per spostare liberamente la matrice "dall'altra parte dell'equazione"
Questo permette di risolvere semplicemente un sistema di equazioni con trovare l'inversa di una matrice

Qual è l'inverso di una matrice?

Le matrici quadrate (cioè le matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne) possono essere invertibili o meno.

Affinché una matrice $A$ sia invertibile, significa che esiste un'altra matrice $B$ tale che il prodotto di $A$ e $B$ è uguale alla matrice identità (una matrice speciale con gli uno nella diagonale e gli zeri fuori dalla diagonale).

Perché si dovrebbe essere interessati a sapere se una matrice è invertibile o meno? È una buona domanda. Quando la matrice è invertibile, possiamo "passare la matrice dall'altra parte", come faremmo con una semplice equazione con i numeri.

In questo caso, è possibile trovare l'inversa della matrice e si "passa" l'inverso della matrice all'altro lato dell'equazione

In termini pratici, se si ha un'equazione matriciale $Ax = b$ , e $A$ è invertibile, allora l'equazione ha una soluzione unica, che può essere scritta come $x = A^{-1} b$ , dove $A^{-1}$ è la matrice inversa di A, nell'ipotesi che esista.

Quando una matrice è invertibile?

Esistono moltissimi modi per stabilire se una matrice è invertibile o meno. È possibile applicare diversi "test" per stabilire se una matrice è invertibile o meno. Il test scelto dipende talvolta dalla struttura della matrice.

Un test comunemente usato per valutare se una matrice è invertibile è quello di calcolare prima la determinante della matrice . Se il determinante è diverso da zero, allora la matrice è invertibile. Ma se è zero, allora la matrice NON è invertibile. Piuttosto semplice, no?

Una matrice è invertibile 3x3? Come sapere

Innanzitutto, poiché 3x3 è una matrice quadrata, è un candidato per verificare la sua invertibilità (le matrici non quadrate vengono scartate subito)

Tutte le matrici 2x2 sono invertibili?

Non è affatto così. Ci sono molte matrici 2x2 che non sono invertibili. Ad esempio, la matrice

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}

è un semplice esempio di matrice 2x2 non invertibile.

Come si fa a sapere se una matrice è invertibile senza determinante?

Come abbiamo detto in precedenza, ci sono molti test per valutare se una matrice è invertibile o meno, e non tutti i metodi utilizzano il determinante

Un metodo da seguire è quello di utilizzare il metodo di Gauss (utilizzando l'operazione delle matrici elementari) per convertire la matrice in forma di righe-echelon e una volta fatto questo, si esamina la diagonale della forma riga-echelon: se tutte le diagonali sono non nulle, allora la matrice è invertibile, mentre se QUALSIASI elemento della diagonale della forma echelon è nullo, allora la matrice non è invertibile.

Esempio: Invertibilità di una matrice

Question: Si supponga di avere la seguente matrice:

\begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}

Soluzione: Dobbiamo determinare se la matrice $3 \times 3$ che ci è stata fornita è invertibile o meno.

Fase 1: Metodo utilizzato

Esistono diversi metodi per determinare se una matrice è invertibile o meno. Il metodo che utilizzeremo in questo caso è il metodo del determinante.

In parole povere, calcoleremo il determinante e se il determinante è diverso da zero, allora la matrice è invertibile, ma se è uguale a zero, allora la matrice non è invertibile.