Più questa calcolatrice per la trasposizione di matrici con passaggi

Spesso l'idea della trasposizione matriciale viene presentata in contesti diversi. Come abbiamo visto spesso, le matrici sono molto utili per risolvere sistemi lineari dove i coefficienti dell'equazione sono rappresentati dalle righe.

In alcuni casi, potrebbe essere utile considerare i coefficienti rappresentati dalle colonne, per cui la matrice trasposta torna utile.

Come si trova la trasposizione di una matrice?

Come di solito accade in matematica, ci sarà un modo per definire la trasposizione utilizzando dei simboli. Proviamo prima a farlo. Consideriamo \(A\) e una matrice data, di dimensione \(m \times n\) (quindi con \(m\) righe e \(n\) colonne).

La matrice trasposta, \(A^T\), sarà una matrice \(n \times m\) (con \(n\) righe e \(n\) colonne), definita come segue:

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji} \]

Quindi, l'elemento che si trova nella coordinata \((i, j)\) di \(A^T\) (cioè, riga i, colonna j) è uguale all'elemento di \(A\) che si trova nella coordinata \((j, i)\).

In definitiva, questo è un modo elegante per dire che le righe di \(A^T\) sono costruite utilizzando le colonne di \(A\). Semplicemente.

È semplicissimo, quindi, seguire questi passaggi:

1. Stabilire la matrice A che si desidera trasporre
2. Identificare le colonne della matrice A
3. Formate la matrice di trasposizione utilizzando come righe quelle che avete identificato come colonne di A

La procedura per trovare la trasposizione della matrice

Quanto abbiamo trovato sopra ci fornisce una procedura per trovare facilmente la trasposta di una matrice.

Fase 1: Identificare ed elencare le colonne della matrice data ed elencarle.

Passo 2: Utilizzate le colonne trovate nel passaggio 1 come righe di una nuova matrice. Questa nuova matrice è la vostra \(A^T\). Fatto.

Qual è la trasposizione di una matrice 2x4?

Andando al sodo, la trasposizione di una matrice 2x4 è una matrice 4x2. È necessario ottenere le 4 colonne della matrice 2x4 originale e utilizzarle come righe nella matrice 4x2 trasposta

Cosa sono le matrici simmetriche?

L'idea di simmetria delle matrici è fortemente legata alla trasposizione delle matrici. Si dice infatti che una matrice \(A\) è simmetrica quando \(A^T = A\).

Quindi, le matrici simmetriche sono quelle che rimangono invariate dopo la trasposizione. Quindi un modo per valutare se una matrice sia o meno simmetrica è calcolando la sua trasposizione e confrontandola con la matrice originale .

La trasposizione è l'unica operazione che si può fare sulle matrici?

Assolutamente no! Le matrici sono oggetti versatili e, proprio come i numeri, si possono aggiungere matrici , sottrarre e moltiplicare le matrici e in alcuni casi è possibile dividere le matrici (a condizione che siano invertibili).

Esempio di trasposizione di matrice

Question: Si consideri la seguente matrice

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

Calcolare la matrice di trasposizione associata \(A^t\).

Soluzione: Si noti che la dimensione della matrice data è \(3 \times 3\), quindi la dimensione della matrice trasposta è \(3 \times 3\)

La trasposizione di una matrice \(A\), che chiamiamo \(A^T\), è formalmente definita componente per componente, come mostrato dalla formula

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji}\]

In altre parole, l'elemento che si trova nella i-esima riga e nella j-esima colonna della matrice di trasposizione è uguale all'elemento che si trova nella j-esima riga e nella i-esima colonna della matrice originale \(A\).

Pertanto, la colonna i-esima della matrice \(A\) data corrisponde alla riga i-esima della matrice trasposta. Quindi, per calcolare la trasposizione di una matrice \(A\), basta prendere le sue colonne e farle diventare le righe della matrice trasposta. Si ottiene quindi:

\[ A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

che conclude il calcolo della trasposizione \(A^T\).

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