Tutoriels statistiques - Scores Z
Supposons que \(X\) a une distribution normale, avec une moyenne \(\mu\) et un écart-type \(\sigma\). Ceci est généralement écrit comme
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Puis le Score Z associé à \(X\) est défini comme
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Exemple: Considérons la variable aléatoire \(X\), qui en tant que distribution normale, avec une moyenne \(\mu = 34 \) et un écart type \(\sigma = 4\). Calculez le z-score de \(X = 41\).
Répondre :
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]Que représente le score z?
Le score z mesure la distance entre la variable aléatoire \(X\) et sa moyenne \(\mu\). Cette mesure n'est pas arbitraire, elle indique combien d'écarts types la valeur de \(X\) est éloignée de \(\mu\). En d'autres termes, un score z de 1,75 indique que la valeur de \(X\) est de 1,75 écart-type par rapport à sa moyenne. Puisque le score z est positif, cela signifie que la valeur de \(X\) est de 1,75 écart-type à droite de sa moyenne, pour être plus précis.
Exemple d'application: Peter a passé son examen de finances la semaine dernière, et il a obtenu 89/100. La moyenne pour sa classe était de 77, avec un écart type de 15. Jenna a également passé son test de mathématiques la semaine dernière, et elle a obtenu 84/100. La moyenne pour sa classe était de 75, avec un écart type de 5. Ils se disputaient pour savoir qui faisait mieux, qui pensez-vous a mieux fait par rapport à leur classe?
Répondre : Nous devons utiliser des z-scores. Pour Peter nous avons
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]En revanche, pour Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]Le score z associé au test de score de Jenna est plus élevé que le test de score z associé au test de score de Peter, ce qui signifie que Jenna a fait mieux que Peter, par rapport à sa classe.
Pourquoi utilisons-nous des scores Z
L'idée derrière l'utilisation du z-score est de normaliser des scores bruts spécifiques qui peuvent être mesurés à différentes échelles. En normalisant les scores, nous pouvons comparer les scores bruts mesurés à différentes échelles, en fonction de leur position par rapport à leur propre population.
Mais l'utilisation des scores z n'est pas le seul moyen de normaliser. Il existe également d'autres scores standardisés, tels que les scores T, qui sont calculés en termes de z-score en utilisant la formule \(T = 50 = 10z\), où z est le z-score correspondant. Vous pouvez utiliser ceci score z et score T calculatrice pour faire le calcul.