Comment calculer les scores Z
Supposons que \(X\) a une distribution normale, avec une moyenne \(\mu\) et un écart-type \(\sigma\). Ceci est généralement écrit comme
\[X \sim N( \mu, \sigma^2 )\]Puis le Score Z associé à \(X\) est défini comme
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}}\]Exemple: Considérons la variable aléatoire \(X\), qui en tant que distribution normale, avec une moyenne \(\mu = 34 \) et un écart type \(\sigma = 4\). Calculer le z-score sur \(X = 41\).
Répondre :
Using the definition of z-score, we use the following formula: \[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{41 - 34}{4} }= \frac{7}{4} = 1.75\]Que représente le score z?
Le score z mesure la distance entre la variable aléatoire \(X\) et sa moyenne \(\mu\). Cette mesure n'est pas arbitraire, elle indique combien d'écarts types la valeur de \(X\) est éloignée de \(\mu\). En d'autres termes, un score z de 1,75 indique que la valeur de \(X\) est de 1,75 écart-type par rapport à sa moyenne. Puisque le score z est positif, cela signifie que le la valeur de \(X\) est de 1,75 écart-type à droite de sa moyenne, pour être plus précis.
Applications des scores Z
Exemple d'application: Peter a passé son examen de finances la semaine dernière, et il a obtenu 89/100. La moyenne pour sa classe était de 77, avec un écart type de 15. Jenna a également passé son test de mathématiques la semaine dernière, et elle a obtenu 84/100. La moyenne pour sa classe était de 75, avec un écart type de 5. Ils se disputaient pour savoir qui faisait mieux, qui pensez-vous a mieux fait par rapport à leur classe?
Répondre : Nous devons utiliser des z-scores. Pour Peter nous avons
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma}} = \displaystyle{\frac{89 - 77}{15}} = \frac{12}{15} = 0.8\]En revanche, pour Jenna:
\[Z = \displaystyle{\frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{84 - 75}{5}} = \frac{9}{5} = 1.8\]Le score z associé au test de score de Jenna est plus élevé que le test de score z associé au test de score de Peter, ce qui signifie que Jenna a fait mieux que Peter, par rapport à sa classe.