La variance de l'échantillon

La variance d'échantillon \(s^2\) est l'une des méthodes les plus courantes pour mesurer la dispersion d'une distribution. Lorsqu'un échantillon de données \(X_1, X_2, ...., X_n\) est fourni, la variance d'échantillon mesure la dispersion des valeurs de l'échantillon par rapport à la moyenne de l'échantillon.

Comment calculez-vous la variance de l'échantillon ?

Plus précisément, la variance de l’échantillon est calculée comme indiqué dans la formule ci-dessous :

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \]

La formule ci-dessus a la Somme des carrés \( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \) en haut et le nombre de degrés de liberté \(n-1\) en bas.

La façon d’utiliser la formule ci-dessus est simple :

• Vous définissez un tableau, avec une colonne pour les données données \(X_i\)
• Vous calculez la moyenne de l'échantillon \(\bar X\)
• Placez la moyenne de l'échantillon dans une colonne à côté des données \(X_i\) (placez la moyenne de l'échantillon à côté de CHAQUE terme de l'échantillon)
• Construisez une colonne dans laquelle vous calculez la soustraction des données de l'échantillon et de la moyenne de l'échantillon : \(X_i - \bar X\)
• Construisez une colonne dans laquelle vous calculez le carré de la colonne précédente : (\(X_i - \bar X\))^2
• Additionnez les valeurs de cette dernière colonne
• Divisez le résultat que vous avez trouvé par \(n-1\).

Comment calculer la variance de l'échantillon à l'aide d'excel ?

Notez que vous devez calculer la moyenne de l'échantillon \(\bar X\) pour utiliser la formule ci-dessus. Vous pouvez calculer la variance dans Excel en utilisant la fonction =VAR() Fonction, mais notre avantage est qu'il s'agit d'un calculateur de variance par étapes. Notez également que si vous prenez la racine carrée de la variance, vous obtenez l'écart type de l'échantillon.

Une forme plus opérationnelle

Certains se plaignent que pour calculer la variance, il faut d'abord calculer la moyenne de l'échantillon, puis les écarts, etc. Mais existe-t-il un moyen de calculer immédiatement la variance de l'échantillon, sans calculer la moyenne ?

Bien sûr que oui. Souvent, les gens pensent qu'ils doivent utiliser formule de moyenne et de variance C'est obligatoire, mais ce n'est pas le cas. Vous pouvez voir ci-dessous comment calculer directement la variance de l'échantillon, sans calculer la moyenne

\[ s^2 = \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 \right) \]

Raisons pour lesquelles la variance de l'échantillon est utile

• Pour les échantillons de grande taille, la variance de l’échantillon est un bon estimateur de la variance de la population

Calculatrices de statistiques descriptives dont vous pourriez avoir besoin

Si, au contraire, vous souhaitez obtenir un calcul étape par étape de toutes les statistiques descriptives, vous pouvez essayer notre calculatrice de statistiques descriptives , qui vous fournira toutes les statistiques descriptives les plus courantes, avec des mesures de tendance centrale et de dispersion montrant toutes les étapes du calcul.

De plus, si vous êtes intéressé par la dispersion relative, par opposition à la dispersion absolue, vous pouvez utiliser notre Calculateur de coefficient de variation , qui vous indique l'ampleur de la dispersion par rapport à la moyenne Pourquoi est-ce nécessaire ? Parce que l'écart type représente la dispersion absolue. Or, l'ampleur de la dispersion n'est pertinente que par rapport à la moyenne.

Exemple d'application

Question :Pour les données d'échantillon données : 3, 4, 2, 3, 1, 4, 4, 4, 7, 8, 9, 12, 2, 3, 13, 18, calculez la variance de l'échantillon.

Solution :

Nous devons calculer la variance de l'échantillon. Voici les données d'échantillon fournies :

\(X\)
3
4
2
3
1
4
4
4
7
8
9
12
2
3
13
18

Maintenant, nous devons mettre au carré toutes les valeurs de l’échantillon comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

Observation:	\(X\)	\(X^2\)
1	3	9
2	4	16
3	2	4
4	3	9
5	1	1
6	4	16
7	4	16
8	4	16
9	7	49
10	8	64
11	9	81
12	12	144
13	2	4
14	3	9
15	13	169
16	18	324
Sum =	\(97\)	\(931\)

Par conséquent, la variance de l’échantillon est calculée comme indiqué ci-dessous :

\[ \begin{array}{ccl} s^2 & = & \displaystyle \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2 \right) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{16 - 1} \left( 931 - \frac{97^2}{16} \right) \\\\ \\\\ & = & 22.8625 \end{array}\]

Par conséquent, sur la base des données fournies, la variance de l’échantillon est \(s^2 = 22.8625 \).