Intervalle de confiance pour la réponse moyenne

L'intervalle de confiance pour la réponse moyenne dans le contexte d'un Régression linéaire correspond à l'intervalle de confiance calculé pour la réponse moyenne prédite \(\mu_{Y|X_0}\) pour une valeur donnée \(X = X_0\).

Ainsi, cet intervalle de confiance nous donne un ensemble crédible dans lequel nous nous attendons à trouver la réponse moyenne \(Y\), pour une valeur de prédicteur fixe \(X = X_0\)

Comment calculez-vous cet intervalle de confiance

Tout d’abord, nous devons connaître l’erreur quadratique moyenne (\(\hat{\sigma}^2\)), pour laquelle vous utilisez la formule suivante :

\[\hat{\sigma}^2 = \displaystyle \frac{SSE}{n-2}\]

L'erreur quadratique moyenne est un type d'erreur standard qui vous donne la variabilité de la variable de réponse pour différents moments que vous évaluez à \(X = X_0\), et elle est utilisée comme base pour l'intervalle de confiance.

En d’autres termes, cette erreur standard joue le même rôle que la écart-type joue sur le calcul de l'intervalle de confiance pour la moyenne \(\mu\).

Formule de l'intervalle de confiance formule de la réponse moyenne

Ok, nous avons tout ce dont nous avons besoin maintenant, nous passons donc à la formule de l'intervalle de confiance : Sur la base de ces informations, l'intervalle de confiance \(1-\alpha)\times 100 \)% pour la réponse moyenne \(\mu_{Y|X_0}\) est donné par

\[CI = \displaystyle \left( \hat\mu_{Y|X_0} - t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) }, \hat\mu_{Y|X_0} + t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) } \right)\]

Comme c'est le cas avec la plupart des intervalles de confiance (pas tous, cependant), l'intervalle est symétrique autour d'un point central, qui dans ce cas, est le point réel valeur Y prédite pour \(X = X_0\).

Cette valeur centrale de l'intervalle de confiance est trouvée en insérant simplement la valeur de \(X = X_0\) dans le modèle de régression estimé.

Plus de calculateurs de régression

Il est important de noter que nous avons montré ici comment calculer l'intervalle de confiance de la réponse moyenne d'une prédiction de régression. Si vous souhaitez plutôt un intervalle de confiance pour la prédiction elle-même, veuillez utiliser ce lien calculateur d'intervalle de prédiction pour les prédictions de régression .

Naturellement, si nous parlons de régression, vous pouvez vérifier cela Calculateur de régression linéaire dans le cas où vous avez un prédicteur, ou celui-ci Calculatrice de régression linéaire multiple quand vous avez beaucoup de prédicteurs.

Une application intéressante est le cas de la Régression polynomiale , dans lequel il y a une variable dépendante Y et un prédicteur X, mais en fait nous utilisons également les puissances de X comme prédicteurs, il s'agit donc techniquement d'une régression multiple.

L'analyse de régression est essentielle en statistique, et on ne saurait trop insister sur son importance. Il est crucial de s'assurer de la validité des résultats de régression obtenus ; il est donc fortement recommandé de analyser les résidus de régression , car ils seront cruciaux au moment d’évaluer si les hypothèses de régression sont respectées.