Calcul Tutoriels

Le concept de base des dérivés

Imaginez que vous ayez une fonction $f(x)$ . Par exemple, vous pourriez avoir quelque chose comme $f(x) = x^2$ ou peut-être quelque chose comme $f(x) = \sin x$ . Nous définissons la dérivée de la fonction $f(x)$ au point $x_0$ comme

f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

si la limite existe. Avant de vous plaindre en disant "Qu'est-ce que c'est que ça ??" laissez-moi vous dire quelque chose, ce n'est pas compliqué car cela peut paraître à première vue. Tout d'abord, quelques observations sur ce qu'est cette limite.

Le dérivé $f'(x)$ est aussi une fonction (chaque fois qu'il est défini).

La dérivée est calculée en un point donné $x_0$ , en utilisant la limite indiquée ci-dessus. Si cette limite existe, et seulement si elle existe, on dit que la dérivée est bien définie au point $x_0$ a, et elle s'écrit $f'(x_0)$

En d'autres termes, la dérivée $f'(x)$ peut être pensée comme une fonction qui dépend de la fonction d'origine $f(x)$ , et qui est calculée point par point.

Voilà, c'est tout ce que vous devez savoir pour l'instant (sérieusement!).

Observez que le concept de dérivée en un point donné $x_0$ est interprété comme le taux instantané de changement de la fonction à ce point. Ceci est réalisé en calculant le taux de changement moyen pour un intervalle de largeur $\Delta x$ , et en prenant ce $\Delta x$ à mesure qu'il s'approche de zéro.

Il est temps de chercher quelques exemples intéressants pour comprendre ce qui se passe:

Exemple : Calculez la dérivée de la fonction $f(x) = x^2$ au point $x_0 = 2$

Solution : Nous utilisons simplement la définition et remplaçons les termes correspondants. Voyons ce que nous obtenons:

f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-2^2}{x-2}

Nous avons simplement remplacé $f(x) = x^2$ et $x_0 = 2$ dans la définition originale de dérivé. Maintenant, en remarquant que $x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$ , nous trouvons que