Imaginez que vous ayez une fonction \(f(x)\). Par exemple, vous pourriez avoir quelque chose comme \(f(x) = x^2\) ou peut-être quelque chose comme \(f(x) = \sin x\). Nous définissons la dérivée de la fonction \(f(x)\) au point \(x_0\) comme

si la limite existe. Avant de vous plaindre en disant "Qu'est-ce que c'est que ça ??" laissez-moi vous dire quelque chose, ce n'est pas compliqué car cela peut paraître à première vue. Tout d'abord, quelques observations sur ce qu'est cette limite.

• Le dérivé \(f'(x)\) est aussi une fonction (chaque fois qu'il est défini).


• La dérivée est calculée en un point donné \(x_0\), en utilisant la limite indiquée ci-dessus. Si cette limite existe, et seulement si elle existe, on dit que la dérivée est bien définie au point \(x_0\) a, et elle s'écrit \(f'(x_0)\)


• En d'autres termes, la dérivée \(f'(x)\) peut être pensée comme une fonction qui dépend de la fonction d'origine \(f(x)\), et qui est calculée point par point.


• Voilà, c'est tout ce que vous devez savoir pour l'instant (sérieusement!).

Observez que le concept de dérivée en un point donné \(x_0\) est interprété comme le taux instantané de changement de la fonction à ce point. Ceci est réalisé en calculant le taux de changement moyen pour un intervalle de largeur \(\Delta x\), et en prenant ce \(\Delta x\) à mesure qu'il s'approche de zéro.

Il est temps de chercher quelques exemples intéressants pour comprendre ce qui se passe:

Exemple : Calculez la dérivée de la fonction \(f(x) = x^2\) au point \(x_0 = 2\)

Solution : Nous utilisons simplement la définition et remplaçons les termes correspondants. Voyons ce que nous obtenons:

Nous avons simplement remplacé \(f(x) = x^2\) et \(x_0 = 2\) dans la définition originale de dérivé. Maintenant, en remarquant que \(x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\), nous trouvons que

Dans le prochain didacticiel, nous en apprendrons plus sur le calcul des dérivés.

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