Asymptotes horizontales


Dans ce tutoriel, nous aborderons le concept de asymptote horizontale et ses applications les plus importantes. Nous essaierons d'éviter les explications trop techniques, mais quelques touches de calcul seront utilisées.

L'essentiel de ce tutoriel est d'acquérir une forte intuition géométrique sur les asymptotes horizontales. Commençons !

Qu'est-ce qu'une asymptote horizontale ?

Une asymptote horizontale est une limite supérieure, que l'on peut imaginer comme une ligne horizontale qui fixe une limite au comportement du graphique d'une fonction donnée.

Cela signifie que le graphique de la fonction f(x)f(x) s'approche en quelque sorte de cette ligne horizontale lorsque la valeur de xx augmente.

Comment trouver l'asymptote horizontale ?

Comprendre ce comportement horizontal limite des fonctions qui présentent cette caractéristique peut s'avérer très utile pour trouver des asymptotes horizontales.

En effet, dans certaines circonstances, ce comportement limite ressemble beaucoup à celui d'une ligne horizontale pour de grandes valeurs de xx. Voir la fonction ci-dessous à titre d'exemple.

Exemple d'asymptote horizontale

Comment trouver l'asymptote horizontale d'une fonction en utilisant les limites ?

Pour que la définition soit claire, une ligne horizontale y=hy = h est une asymptote horizontale de la fonction f(x)f(x) si

limxf(x)=h\large \lim_{x\to\infty} f(x) = h

si la limite ci-dessus existe et si elle est finie. Pour ceux qui n'ont pas encore suivi de cours de calcul, la ligne horizontale y=hy = h est une asymptote horizontale de la fonction f(x)f(x) lorsque hh est le limite de f(x)f(x) lorsque xx s'approche de l'infini. Que signifie être une "limite" ? Cela signifie que pour des valeurs suffisamment grandes de xx, la valeur de f(x)f(x) sera aussi proche de hh que nous l'avons prédéfini. Impressionnant, n'est-ce pas ?

Quelle est la formule de l'asymptote horizontale ?

Pour trouver la formule de l'asymptote horizontale, nous devons d'abord trouver la limite correspondante. Supposons que vous ayez

limxf(x)=h\large \lim_{x\to\infty} f(x) = h

Dans ce cas, nous dirons que l'asymptote horizontale est hh, et la formule de l'asymptote horizontale est y=hy = h. En d'autres termes, l'asymptote horizontale est une simple ligne horizontale, c'est-à-dire une ligne dont la pente est nulle.

Cela donne le sens de ce que signifie une asymptote horizontale en termes de limites : la limite trouvée correspond à la définition de la ligne horizontale que l'on appelle l'asymptote horizontale.

asymptote horizontale

Exemple 1

Trouver une asymptote horizontale pour la fonction

f(x)=x2x2+1 \large f(x) = \frac{x^2}{x^2+1}

Réponse:

Pour trouver l'asymptote horizontale, nous devons trouver la limite de la fonction f(x)f(x) lorsque xx s'approche de l'infini. Si vous n'êtes pas familier avec le calcul, vous devriez d'abord essayer d'évaluer la fonction à une très grande valeur de xx.

Par exemple, disons que x=1,000,000x = 1,000,000. Introduisons ce nombre dans la fonction :

f(1,000,000)=1,000,00021,000,0002+1=1,000,000,000,0001,000,000,000,000+1 \large f(1,000,000) = \frac{1,000,000^2}{1,000,000^2+1} = \frac{1,000,000,000,000}{1,000,000,000,000+1} =1,000,000,000,0001,000,000,000,001=0.999999999999 = \frac{1,000,000,000,000}{1,000,000,000,001} = 0.999999999999

qui est très proche de 1. On devrait donc soupçonner que la limite est 1. En fait, il s'avère que lorsque xx est grand, la valeur de x2x^2 est si grande par rapport à 1, que x2x^2 est très similaire à x2+1x^2 + 1, du moins en termes relatifs. En divisant le numérateur et le dénominateur par x2x^2, on obtient donc

f(x)=x2x2+1=11+1x211+0=1 \large f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \rightarrow \frac{1}{1+0} = 1

car 1x2\frac{1}{x^2} se rapproche de 0 lorsque xx se rapproche de l'infini. Il n'est donc pas difficile de prouver ou d'être convaincu que

limxf(x)=limxx2x2+1=1\large \lim_{x\to\infty} f(x) =\large \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^2+1} = 1

ce qui signifie que l'asymptote horizontale est y=1y = 1. Faites attention à votre réponse si vous répondez à un test ou à un devoir. Certaines personnes diront "l'asymptote horizontale est 1", ce qui est faux.

Techniquement, l'asymptote horizontale est la fonction y=1y = 1, et NON le nombre 1. L'asymptote horizontale est une fonction qui est constante, ce qui n'est pas la même chose qu'un nombre. Je le dis simplement, parce qu'il y a des élèves difficiles.

Exemple 2

Trouver une asymptote horizontale, si elle existe pour la fonction

f(x)=x3x2+1 \large f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}

Réponse:

En divisant le numérateur et le dénominateur par x2x^2 :

f(x)=x1+1x2 \large f(x) = \frac{x}{1+\frac{1}{x^2}}

Mais attendez ! L'astuce n'a pas fonctionné ici ? Si, elle a fonctionné. Remarquez que le dénominateur devient très proche de 1 lorsque xx devient très grand, et que le numérateur devient très grand.

Il n'est pas difficile de croire que f(x)f(x) converge vers l'infini, de sorte qu'il n'y a pas d'asymptote horizontale. Chaque fois qu'une fonction n'est pas bornée, comme c'est le cas pour f(x)f(x) dans cet exemple, il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Asymptote horizontale ou asymptotes horizontales ?

Techniquement, il peut y avoir deux asymptotes horizontales, l'une à gauche et l'autre à droite. L'asymptote horizontale gauche est y=hLy = h_L si

limxf(x)=hL\large \lim_{x \to -\infty} f(x) = h_L

De même, l'asymptote horizontale droite est y=hRy = h_R si

limx+f(x)=hR\large \lim_{x \to +\infty} f(x) = h_R

dans le cas où l'une des limites ci-dessus existe et est finie. Il peut arriver qu'une fonction ait deux asymptotes horizontales, une seule asymptote horizontale ou aucune asymptote horizontale.

Deux Asymptotes Horizontales

Par exemple, dans le graphique ci-dessus, il y a deux asymptotes horizontales, y=2y = -2 et y=2y = 2.

Quelle est la règle pour trouver l'asymptote horizontale ?

Il n'existe pas de règles générales applicables à tous les cas. Dans le cas général, nous devons calculer la limite lorsque xx s'approche de -\infty, et la limite lorsque xx s'approche de ++\infty.

Si l'une de ces limites existe et est finie, nous aurons les asymptotes horizontales.

Une règle spécifique peut être élaborée pour le cas où la fonction donnée f(x)f(x) est le quotient de deux polynômes. Dans ce cas, supposons que mm est l'ordre du polynôme au numérateur, et que nn est l'ordre du polynôme au dénominateur. Nous avons alors les cas suivants :

Cas 1 : Si m<nm < n, l'asymptote horizontale est y=0y = 0.

Cas 2 : Si m=nm = n, et aa est le coefficient directeur du polynôme au numérateur, et bb est le coefficient directeur du polynôme au dénominateur, alors l'asymptote horizontale est y=ab\displaystyle y = \frac{a}{b}.

Cas 3 : Si m>nm > n, il n'y a pas d'asymptote horizontale.

Exemple 2

Trouver, si elle existe, l'asymptote horizontale de la fonction

f(x)=3x2+2x12x2x+2\large f(x) = \frac{3x^2+2x-1}{2x^2 -x+2}

Réponse:

La fonction est le quotient de deux polynômes. Le polynôme au numérateur est 3x2+2x13x^2+2x-1, qui est un polynôme d'ordre 2, donc m=2m = 2, et à coefficients premiers 3.

Le polynôme au dénominateur est 2x2x+22x^2 -x+2, qui est un polynôme d'ordre 2, donc n=2n = 2, et la constante de tête 2. Vous pouvez utiliser notre Calculatrice polynomiale pour réaliser cette division en montrant toutes les étapes.

Ainsi, puisque dans ce cas m=nm = n, il y a une asymptote horizontale, et qu'elle est le quotient des coefficients premiers, alors dans ce cas, l'asymptote horizontale est

y=32\large y = \frac{3}{2}

En savoir plus sur les asymptotes horizontales

Ta question est donc de savoir comment trouver les asymptotes d'une équation, n'est-ce pas ? Tout d'abord, on trouve les asymptotes d'une fonction et non d'une équation. Il faut donc commencer par la définition générale, en utilisant les limites.

Si vous ne connaissez pas le calcul et ne savez pas comment calculer les limites, vous devriez au moins essayer d'introduire de très grandes valeurs de xx, ainsi que des valeurs très négatives de xx sur la fonction, et voir comment la fonction se comporte.

Même en traçant la fonction à l'aide d'un logiciel, vous pouvez savoir s'il existe des asymptotes horizontales.

En définitive, dans le cas très restreint où la fonction est une quotient de polynômes vous pouvez alors appliquer la règle sur la base des ordres mm et nn.

Comment trouver les asymptotes horizontales de différents degrés ?

Il s'agit de différents types d'asymptotes, que l'on appelle asymptotes obliques. Nous parlerons des asymptotes obliques dans un autre cours.

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