Propriété commutative de l'addition
La propriété commutative de l'addition est l'une des hypothèses cruciales faites sur les mathématiques, que vous prenez probablement pour acquis et que vous utilisez tout le temps sans le savoir.
L'idée de commutativité tourne autour de l'ordre d'une opération. La question est, ai-je cela
\[\large a + b = b + a\]pour n'importe quel nombre \(a\) et \(b\)? Pour vous, cela peut être une question idiote. Comme "que voulez-vous dire, bien sûr". Mais la commutativité ne vaut pas pour TOUTES les opérations. Mais cela se trouve être vrai pour l'addition courante de nombres.
Y a-t-il une preuve de la commutativité de l'addition? Techniquement non, car c'est plutôt un axiome pour les nombres réels en tant que champ algébrique.
Pourtant, mais en comprenant comment l'addition fonctionne, il est facile de CONVENIR que la commutativité a un sens, et par conséquent, nous embrassons l'axiome.
Par exemple, cela a tout le sens du monde de penser que \(3 + 4\) est identique à \(4 + 3\). Pourquoi ça ?? En raison de la façon dont nous effectuons l'addition dans notre esprit: c'est comme le compte 3 (par exemple, en utilisant les doigts) et ensuite nous comptons 4.
Nous pensons donc qu'à la fin, nous compterions le même nombre de doigts, même si nous comptions 4 premiers et 3 secondes.
C'est une bonne façon de le voir. Et le concept à retenir est que la commutativité n'est PAS accordée, et certaines opérations l'auront et d'autres ne l'auront pas.
Autres opérations qui ont la commutativité
La commutativité est-elle courante? Oui, à peu près. Mais toutes les opérations ne l'ont pas. Même les plus communs. Par exemple, la multiplication des nombres est commutative. Ceci, nous avons cela
\[\large a\cdot b = b \cdot a\]pour tous les nombres réels \(a\) et \(b\). Bien, cela signifie que la commutativité est valable pour toutes les opérations courantes? Pas tout. Par exemple, ni la soustraction ni la division des nombres ne sont commutatives. En effet, en général
\[\large a - b = \not b - a\]et l'égalité n'est valable que lorsque \(a = b\). Ainsi, par exemple, \(3 - 1 = 2\) et \(1 - 3 = -2\) ne sont pas égaux. Ainsi, la soustraction des nombres n'est pas commutative. Surpris? Eh bien, maintenant vous le savez.
De plus, pour la division, nous avons cela en général
\[\large a / b = \not b / a\]et l'égalité n'est valable que lorsque \(a = b\). Ainsi, par exemple, \(6 / 3 = 2\) et \(3 / 6 = 1/2\) ne sont pas égaux. Ainsi, la division des nombres n'est pas commutative.
EXEMPLE 1
Considérez l'opération suivante entre les nombres réels \(a\) et \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b\]Cette opération est-elle commutative?
RÉPONDRE:
Puisque l'addition et la multiplication des nombres réels sont commutatives, nous avons que
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + b = b \cdot a + b + a = b \odot a \]ce qui implique que l'opération \(\odot\) est commutative.
EXEMPLE 2
Considérons maintenant l'opération suivante entre les nombres réels \(a\) et \(b\):
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b\]Cette opération est-elle commutative?
RÉPONDRE:
Remarquerez que
\[\large a \odot b = a\cdot b + a + 2b \] \[\large b \odot a = b\cdot a + b + 2a \]Donc alors
\[\large a \odot b - b \odot a = a\cdot b + a + 2b - (b\cdot a + b + 2a) \] \[\large = a\cdot b + a + 2b - b\cdot a - b - 2a\] \[\large = a\cdot b + a + 2b - a\cdot b - b - 2a\] \[\large = a + 2b - b - 2a\] \[\large = b - a\]ce qui n'est pas nul en général. Par conséquent, cela implique que l'opération \(\odot\) n'est maintenant PAS commutative.
En savoir plus sur la propriété commutative de l'addition
Ainsi, la commutativité semble être très évidente pour l'addition des nombres, et aussi pour la multiplication des nombres. Mais cela vaut-il pour toutes les opérations auxquelles nous pouvons penser? Réponse rapide: Absolument pas.
Il n'est pas nécessaire d'aller trop loin pour trouver des exemples d'opérations qui ne sont pas commutatives. Par exemple, considérons la multiplication des matrices. Cela vous surprendra peut-être, mais la multiplication des matrices n'est PAS commutative.
En d'autres termes, vous pouvez avoir des matrices \(A\) et \(B\) pour lesquelles \(A \cdot B = \not B \cdot A\). Tu n'y crois pas? Vérifiez-le: considérez
\[\large A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] , B = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \]Ensuite, dans ce cas, nous avons cela
\[\large A \cdot B = \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 1 &3 \end{matrix}\right] \]et
\[\large B \cdot A = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix}\right] \]ce qui montre que ce n'est PAS vrai en général que \(A \cdot B = B \cdot A\).
Vous pouvez en savoir plus sur le propriété commutative et aussi sur le propriété associative . Ces deux propriétés sont la pierre angulaire de la structure des nombres réels.