La propriété associative est une de ces propriétés dont on ne parle pas beaucoup, car elle est prise pour acquise, et elle est utilisée tout le temps, sans le savoir. La propriété associative a à voir avec les opérandes que nous traitons en premier lorsque nous opérons plus de deux opérandes, et en quoi peu importe les opérandes que nous opérons en premier, en termes de résultat final de l'opération.

La propriété associative est une pierre angulaire de l'algèbre, et elle est le fondement de la plupart des opérations que nous menons quotidiennement, même sans le savoir. Faire de l'algèbre sans la propriété associative, bien que possible, c'est plutôt difficile. Il existe des structures en mathématiques dans lesquelles l'associativité n'est pas supposée vraie, mais celles-ci sont beaucoup plus limitées.

Au cœur de la propriété associative, il faut d'abord comprendre l'idée d'opération. Sans être trop technique, une opération "\(\circ\)" est simplement une façon de prendre deux éléments \(a\) et \(b\) sur un certain ensemble \(E\), et de faire "quelque chose" avec eux pour créer un autre élément \(c\) dans l'ensemble \(E\).

Alors, vous prenez \(a\) et \(b\), vous les opérez et vous obtenez \(c\). Une telle action peut être exprimée mathématiquement par \(a \circ b = c\).

Il est important d'observer que vous avez utilisé DEUX éléments, \(a\) et \(b\), pour obtenir \(c\). Je mets l'accent à nouveau, vous utilisez DEUX éléments, \(a\) et \(b\). Jusqu'ici tout va bien. Alors, question, et si vous voulez faire fonctionner trois éléments. Eh bien, vous ne pouvez pas, après toutes les opérations prendre DEUX éléments, alors que feriez-vous avec le troisième. Ou pouvez-vous?

Eh bien, que se passe-t-il si vous utilisez d'abord deux d'entre eux, puis que vous utilisez le troisième avec le résultat de faire fonctionner les deux premiers éléments? Oui, cela peut être fait. Donc, disons que vous avez trois éléments \(a\), \(b\) et \(c\) et que vous voulez les faire fonctionner. Une façon est d'utiliser d'abord \(a\) et \(b\), puis d'utiliser le résultat de avec \(c\). Ce serait \((a\circ b)\circ c\).

Remarquez la parenthèse ici. C'est là pour une raison. En écrivant \((a\circ b)\circ c\), vous dites que vous utilisez \(a\) et \(b\) en premier, et ALORS vous utilisez \(c\). C'est suffisant. Cela ressemble à une manière satisfaisante de faire fonctionner \(a\), \(b\) et \(c\). Mais est-ce le seul moyen? Et si j'opère d'abord \(b\) et \(c\), et ALORS j'utilise \(a\) avec le résultat de l'utilisation de \(b\) et \(c\). Vous écririez cela comme \(a\circ (b\circ c)\).

Maintenant, la grande question: est-ce la même chose si j'opère ces trois éléments de la manière indiquée ci-dessus. Est-ce que j'obtiens le même résultat final si j'opère les deux premiers et que le résultat est opéré avec le troisième, ou si j'utilise le premier élément avec les résultats de l'exploitation des deux autres? Ou simplement, \((a\circ b)\circ c\) est-il le même que \(a\circ (b\circ c)\). Chers amis, la réponse dépend de la question de savoir si l'opération est associative.

Définition: Une opération \(\circ\) est associative si pour trois éléments quelconques \(a\), \(b\) et \(c\), nous avons cela

Toutes les opérations ne satisfont pas à cette propriété associative, la majorité le font, mais certaines non. Les opérations les plus courantes, celles que nous connaissons, satisfont l'associativité, comme la somme ou la multiplication

EXEMPLE 1

Vérifiez certains nombres pour vous convaincre que l'associativité est satisfaite pour la somme commune "\(+\)".

RÉPONDRE:

Par exemple, considérons 3 nombres: \(8\), \(4\) et \(7\). Vérifions si l'associativité est satisfaite ou non pour ces données. Remarquerez que:

D'un autre côté, nous avons cela

Par conséquent, dans ce cas \((8 + 4) + 7 = 8 + (4 + 7)\).

La propriété associative utilisée pour définir des opérations avec plus de deux opérandes

Ainsi, toutes les opérations ne sont pas associatives, mais la plupart de celles que nous connaissons le sont. Lorsque l'associativité est satisfaite, alors nous pouvons définir, sans ambiguïté, le fonctionnement de plus de deux opérandes. Pour faire plus simple, nous écrivons simplement \(a \circ b \circ c\), sans parenthèses car grâce à la propriété d'associativité, nous savons que peu importe comment nous regroupons les opérandes, nous obtiendrons le même résultat final de l'opération.

EXEMPLE 2

Définissons l'opération suivante:

Cette opération est-elle associative?

RÉPONDRE:

Remarquerez que

D'un autre côté, nous avons cela

Par conséquent, il n'est pas toujours vrai que \(\left( a\circ b \right)\circ c = a\circ \left( b\circ c \right) \). Par conséquent, "\(\circ\)" n'est pas associatif.