Propriété commutative
La propriété commutative est l'une de ces propriétés des opérations algébriques sur lesquelles nous ne nous attardons pas, car elle est généralement prise pour acquise. La propriété commutative a à voir avec l'ordre de l'opération entre deux opérandes, et comme peu importe l'ordre dans lequel nous les opérons, nous obtenons le même résultat final de l'opération.
La propriété commutative est l'une des pierres angulaires de l'algèbre, et c'est quelque chose que nous utilisons tout le temps sans le savoir. C'est même dans nos esprits sans le savoir, quand on utilise pour obtenir le "l'ordre des facteurs n'altère pas le produit".
Tout d'abord, nous devons comprendre le concept de fonctionnement. En termes mathématiques, une opération "\(\circ\)" est simplement une façon de prendre deux éléments \(a\) et \(b\) sur un certain ensemble \(E\), et de faire "quelque chose" avec eux pour créer un autre élément \(c\) dans l'ensemble \(E\).
Donc, lorsque vous prenez deux éléments \(a\) et \(b\) dans un ensemble, vous les opérez avec l'opération "\(\circ\)" et vous obtenez \(c\). Vous écrivez cela mathématiquement comme \(a \circ b = c\).
Définition: Une opération \(\circ\) est commutative si pour deux éléments quelconques \(a\) et \(b\) nous avons cela
\[ a\circ b = b \circ a\]Notez que toutes les opérations ne satisfont pas cette propriété commutative, bien que la plupart des opérations courantes le fassent, mais pas toutes. En effet, l'addition et la multiplication satisfont la propriété commutative, mais pas la soustraction et la division.
EXEMPLE 1
Tout à fait que la soustraction commune "\(-\)" n'est pas commutative.
RÉPONDRE:
En effet, considérons les nombres: \(8\) et \(4\). Observe ceci:
\[ \large 8 - 4 = 4 \]tandis que
\[ \large 4 - 8 = -4 \]Donc, \(8 - 4\) n'est pas égal à \(4 - 8\), ce qui implique que la soustraction "\(-\)" n'est pas commutative.
EXEMPLE 2
Définissons l'opération suivante:
\[ \large a\circ b = ab+a+b \]Cette opération est-elle commutative?
RÉPONDRE:
Observe ceci
\[ a \circ b = ab+a+b\]D'autre part, nous obtenons également que
\[ b \circ a = ba+b+a = ab + a + b\]car l'addition et la multiplication communes sont toutes deux commutatives. Ainsi donc, nous pouvons voir que \(a \circ b = b \circ a\). Par conséquent, l'opération "\(\circ\)" est commutative.
En savoir plus sur la Commutativité
La commutativité est une propriété que vous avez probablement utilisée sans réfléchir à maintes reprises. Vous l'obtenez depuis vos années d'école primaire, comme une berceuse: "l'ordre des facteurs n'altère pas le produit". Et je suppose que ça marche parce que ça colle. S'ils vous disaient "la multiplication est une opération commutative", et je vous parie que ça collera moins.
Une chose importante est de ne pas confondre associativité avec commutativité. Lorsque nous nous référons à l'associativité, nous voulons dire que quelle que soit la paire que nous opérons en premier, cela n'a pas d'importance. C'est pas le même comme disant que l'ordre de l'opération n'a pas d'importance, ce qui est la propriété de l'associativité.
Pourquoi la propriété commutative est-elle importante?
le propriété commutative est très important car il permet un niveau de flexibilité dans le calcul des opérations que vous n'auriez pas autrement. Il existe des structures mathématiques qui ne reposent pas sur la commutativité, et ce sont même des opérations courantes (comme la soustraction et la division) qui ne la satisfont pas. Ainsi, la commutativité est une propriété utile, mais elle n'est pas toujours satisfaite.