حول المعادلات كثير الحدود

استخدم هذه الآلة الحاسبة لمساعدتك على حل المعادلات كثير الحدود , مما يوضح جميع خطوات العملية.يمكن أن يكون للمعادلة التي تقدمها مصطلحات متعددة الحدود على اليسار واليمين من المعادلة.

على سبيل المثال , يمكنك توفير معادلة مثل 3x^3 - 2x = 1 + x , والتي يمكن اشتقاقها من محاولة العثور على تقاطع الرسوم البيانية للدالة المكعبة والخطية.أي معادلة كثير الحدود ستفعل , مع معاملات عدد صحيح أو الكسر , أو أي تعبير رقمي صالح.

بمجرد كتابة المعادلة كثير الحدود في مربع النموذج , تحتاج إلى النقر على "حساب" , والتي ستظهر جميع خطوات العملية والحلول.

إخلاء واحد , لا يمكن حل جميع المعادلات متعددة الحدود باستخدام الأدوات الأساسية.لا توجد صيغة منهجية للتعامل مع المعادلة كثير الحدود للدرجة 5 أو أعلى.أيضًا , نتعامل مع الصعوبة الإضافية التي يمكن أن تكون حلول المعادلة متعددة الحدود أرقامًا معقدة.

ما هي المعادلة متعدد الحدود

المعادلة كثير الحدود , بعبارات بسيطة , هي معادلة تحتوي كلا الجانبين على الحدود.من الناحية الرياضية , فإن المعادلة متعددة الحدود هي الشكل:

\[\displaystyle p(x) = q(x) \]

حيث \(p(x)\) و \(q(x)\) هي متعدد الحدود.على سبيل المثال \(3x+1 = x^2-2\) هي معادلة متعددة الحدود , ولكن \(\sin(3x+1) = x^2-2\) ليست كذلك.

ما هي خطوات حل المعادلات متعددة الحدود؟

• الظهر 1: حدد المعادلة التي تريد العمل معها , مما يشير بوضوح إلى المصطلحات الموجودة على الجانب الأيسر والأيمن , وتأكد من أنها كثير الحدود
• ال alخطoة 2: تبسيط كل جانب قدر الإمكان.تمرير جميع المصطلحات على أحد الجانبين إلى الجانب الآخر (إذا كان لدى كلا الجانبين مصطلحات)
• الله 3: الآن لديك معادلة متعددة الحدود من المقرر أن تكون مساوية للصفر , لذلك نحن بحاجة إلى العثور على جذور الحدود
• الظهر 4: نحاول بجذور عقلانية محتملة , تقسيم متعدد الحدود للحد والصيغة التربيعية , كما هو موضح في العلم الله للعثور على الحلول , إن أمكن

ستجد أن حل المعادلات كثير الحدود , حيث أن إيجاد جذور متعدد الحدود بعيد عن التافهة لجميع الحالات.من المؤكد أن بعض الأمثلة المحددة يمكن أن تكون بسيطة للغاية , ولكن عندما يكون أسعار الحدود الحية المعنية كبيرة , يمكن أن تكون العملية صعبة للغاية أو مستحيلة.

هل المعادلات التربيعية أيضا معادلات متعددة الحدود؟

نعم حقا!المعادلة التربيعية هي معادلة مع كثير الحدود من الدرجة 2 على الجانب الأيسر , و 0 (وهو متعدد الحدود أيضًا) على الجانب الأيمن , لذلك يناسب التعريف.

بالفعل, الماعدة تدور حول أفضل ما يمكننا حله باستخدام أدوات بسيطة.على الرغم من وجود صيغ للمعادلات المكعبة والرباعية , لا توجد صيغة عامة للدرجة 5 أو أعلى.إذن , نعتمد على أجهزة الكمبيوتر لإيجاد تقريب عددي في كثير من الأحيان.

وأيضًا , لا يمكن أن يجعل الأسعار متعدد الحدود فقط من الصعب حل المعادلة , كما يمكن أن تجعل معاملات متعدد الحدود المرهقة بالتأكيد أكثر صعوبة.

كيف يرتبط الرسم البياني للعديد من الحدود بالمعادلات كثير الحدود؟

هناك طرق مختلفة لرؤيتها , ولكن إحدى الطرق هي ملاحظة أنه من خلال محاولة إيجاد تقاطع متعدد الحدود , فإننا نحل بالفعل معادلة كثير الحدود.لذلك هناك مشاكل مرتبطة ارتباطا وثيقا.

مثال: حل المعادلات متعددة الحدود

احسب المعادلة متعددة الحدود التالية: \(x^2 = x^3\)

إل: يجب أن نحل \(x^2 = x^3\), لذلك نمر \(x^3\)على الجانب الآخر , لذلك نحصل

\[ x^2 - x^3 = 0\]

ويؤدي العوملة إلى:

\[ x^2(1 - x) = 0\]

إذن , هناك حلان: \(x_1 = 0\)(الذي له تعدد 2) , و \(x_2 = 1\).

مثال: حل المعادلات متعددة الحدود

ما هي حلول المعادلة التالية: \(\frac{2}{3} x^2 + \frac{5}{4} x = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{6}\)

إل: نحن بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6}\]

خطoة أolelyة: في هذه الحالة , نحتاج أولاً إلى تبسيط المعادلة المعطاة \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2+\frac{5}{4}x=\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{6} \), من خلال وضع جميع المصطلحات على جانب واحد من المعادلة , حتى نحصل على:

وبالتالي , بعد التبسيط , نحتاج إلى حل المعادلة متعدد الحدود التالية للطلب \(2\):

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\]

لاحظ أن درجة متعدد الحدود المعطاة هي \(\displaystyle deg(p) = 2\), معامله الرائد هو \(\displaystyle a_{2} = \frac{1}{3}\)ومعامله الثابت هو \(\displaystyle a_0 = \frac{5}{6}\).

نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية التالية \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6}=0\).

للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\), يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0\), مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = \frac{1}{3}\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = \frac{5}{6}\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{65}{144}\]

لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle \frac{65}{144} > 0\), وهو أمر إيجابي , نعلم أن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{5}{6}\right)}}{2\cdot \frac{1}{3}} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{65}{144}}}{\frac{2}{3}}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ x_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}-\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{5}{4}\cdot \frac{3}{2}-\frac{\frac{1\cdot 3}{2}\cdot 1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)\sqrt{65}=-\frac{15}{8}-\frac{1}{8}\sqrt{65} \] \[x_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{65}{144}}=-\frac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{3}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{12}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+1\cdot \frac{1}{8}\sqrt{65}=-\frac{15}{8}+\frac{1}{8}\sqrt{65}\]

في هذه الحالة , فإن المعادلة التربيعية \( \displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = 0 \), لها جذور حقيقية , إذن:

\[\displaystyle \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\]

إذن , يتم أخذ متعدد الحدود الأصلي في الحسبان كـ \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{5}{6} = \frac{1}{3} \left(x+\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\sqrt{65}+\frac{15}{8}\right) \), والذي يكمل العوامل.

خatmة : الحل للمعادلة متعددة الحدود الموجودة باستخدام عملية العوامل هو \(-\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\) و \(\frac{1}{8}\sqrt{65}-\frac{15}{8}\).

مزيد من الحاسبة الحدود

تظهر معادلات متعدد الحدود بشكل طبيعي في الجبر , وهي واحدة من أهم الموضوعات في الجبر.عندما تبحث عن تقاطع اثنين الملمس , سوف تحتاج إلى حl amadadlة كثyer alحdod , فقط لذكر موقف واحد للكثيرين.

إن أبسط حالة للمعادلة متعددة الحدود هي الحالة عندما تحل أ ماعدل خط ماستوم , وهي في الواقع حالة تافهة.أي شيء غير خطي سيستغرق المزيد من العمل.

إن حل المعادلة متعددة الحدود ليس واضحًا , وخاصة بالنسبة للزيادة درهيتا معدود .في الواقع , هناك احتمال معين بأنك لن تتمكن من العثور على كل حل معادلة معينة يدويًا (أو أي حل لهذه المسألة).

يتضمن أفضل بديل يدوي تجميع جميع المصطلحات الحية على جانب واحد لتقليله إلى الهاور علا .بعد ذلك , نستخدم الصيغة التربيعية عند الإمكان , ونحاول تقليل ترتيب الحدود آمتوم مقتد دداود و ال نظري عظم .