حاسبة الدالة الأسية من نقطتين

فكرة هذه الآلة الحاسبة هي تقدير المعلمات \(A_0\) و \(k\) للوظيفة \(f(t)\) المعرفة على النحو التالي:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

بحيث تمر هذه الوظيفة من خلال النقاط المحددة \((t_1, y_1)\) و \((t_2, y_2)\).

لكن كيف تجد دالة أسية من النقاط؟

من الناحية الفنية , من أجل العثور على المعلمات , تحتاج إلى حل نظام المعادلات التالي:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

سيؤدي حل هذا النظام لـ \(A_0\) و \(k\) إلى حل فريد , بشرط أن \(t_1 = \not t_2\).

في الواقع , بقسمة طرفي المعادلات:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

من أجل حل مشكلة \(A_0\) , نلاحظ من المعادلة الأولى أن:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

كيف تحسب النمو الأسي؟

إنه ليس نموًا دائمًا. في الواقع , إذا كانت المعلمة \(k\) موجبة , فعندئذ يكون لدينا نمو أسي , ولكن إذا كانت المعلمة \(k\) سالبة , فعندئذ يكون لدينا تسوس أسي.

ستكون المعلمة \(k\) صفرًا فقط إذا كانت \(y_1 = y_2\) (النقطتان لها نفس الارتفاع).

للحصول على سلوكيات أسية محددة , يمكنك التحقق من حاسبة النمو الأسي و ال حاسبة الاضمحلال الأسي , والتي تستخدم معلمات محددة لهذه الأنواع من السلوك الأسي.