حاسبة نظرية الباقي

يمكن أن تساعدك هذه الآلة الحاسبة بكفاءة وسهولة في استخدام نظرية الباقي.من أجل استخدامه , تحتاج إلى توفير متعدد الحدود (على سبيل المثال , شيء مثل 3x^4 - 3x^2 + 6) وتعبير رقمي صالح (مثل 2 , أو 3/4) حيث تريد تقييمكثير الحدود في.

يمكن أن يكون لدى متعدد الحدود أي آرض تتامنى , طالما أنها كثير الحدود الصالحة.يمكن أن يكون له عدد صحيح أو معاملات الكسر , أو في نهاية المطاف أي تعبير رقمي صالح يمكن أن يكون معامل (مثل SQRT (2)).يمكن أن يأتي التعدد الاقتصادي الذي تقدمه أو لا , لا يهم , كما تفعل الآلة الحاسبة تيبسيه الدادود أولا , إذا لزم الأمر.

بمجرد توفير متعدد الحدود الصالح , مع تعبير رقمي صالح لتقييمه , تحتاج إلى دفع زر "حساب" , وسيتم توفير جميع خطوات العملية لك.

ال نظرية العداد من الأهمية بمكان في الجبر , لذلك سوف يكون في متناول اليد للحصول على هذه الآلة الحاسبة , لجعل العملية أسهل كثيرًا.

ما هي نظرية الباقي

نظرية الباقي هي إحدى النظريات المهمة التي ذكرت ببساطة أنه عندما تقسم تعبئتين , ستجد حاصلًا وباقيًا , كلاهما كثير الحدود.

هذا يجلب ذكريات تقسيم الأرقام: عند تقسيم رقمين , تجد حاصلًا وباقيًا , مع خاصية رائعة أن الباقي أقل من المقسوم.يحدث الشيء نفسه بالضبط مع الحدود الحدود , فقط في هذه الحالة , تكون درجة الباقي أقل ثم درجة المقسوم.

علينا أن نضع الأمر رياضياً: افترض أن لديك متعدد الحدود \(p(x)\) وتريد تقسيمه على \(s(x)\).تنص نظرية الباقي على وجود حاصل \(q(x)\) وبقية \(r(x\) مع خاصية ذلك

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = q(x) + \frac{r(x)}{s(x)} \]

حيث تكون درجة الباقي \(r(x)\) أقل من درجة المقسوم \(s(x)\).يمكن العثور على هذه الحاصل والباقي بمساعدة Tقacym طoyl jn alحdod وبعد

الزاوية الأخرى لنظرية الباقي هي أن التعبير أعلاه يمكن إعادة كتابة

\[\displaystyle p(x) = q(x)s(x) + r(x)\]

الآن , إذا كان المقسوم يحتوي على 1 , قل \(s(x) = x-a\) , تصبح نظرية الباقي

\[\displaystyle p(x) = q(x)(x-a) + r\]

الآن , \(r(x)\) يصبح ثابتًا \(r(x) = r\) , لأن المقسوم لديه درجة 1 , ثم يجب أن يكون للباقي درجة الصفر , مما يعني أن الباقي ثابت.

إذن , يؤدي توصيل x = a في الصيغة أعلاه إلى

\[\displaystyle p(a) = q(a)(a-a) + r = q(a)\cdot 0 + r = r\]

الاستنتاج , والخليط القاع لنظرية الباقي هو أن P (A) هو باقي تقسيم p (x) على (x-a) , والتي يمكن القيام بها باستخدام توم الله .يتم استدعاء عملية تقييم كثير الحدود بشكل غير مباشر بالقيمة العداد وبعد

خطوات لاستخدام نظرية الباقي

• الظهر 1: حدد الحدود p (x) والمقاطع S (x)
• ال alخطoة 2: إذا كنت ترغب في العثور على الحاصل والباقي , فيمكنك بشكل عام استخدام طريقة التقسيم الطويل
• الله 3: إذا كنت ترغب في تقييم p (x) عند نقطة x = a , ما عليك سوى تقسيم p (x) على x-a باستخدام طريقة التقسيم الاصطناعي

كما ترون , ترتبط نظرية الباقي , وتقسيم متعدد الحدود , والتقسيم الاصطناعي , والتقسيم الطويل ارتباطًا وثيقًا ببعضهما البعض , وهي جوانب مختلفة من نفس الكائن.

كيف تستفيد من استخدام نظرية الباقي؟

يتم استخدام نظرية الباقي في العديد من القدرات.الأكثر عادة , يتم استخدامه Tقiem mtudad alحdod at a given value x = a, and specifically, determine whether or not it is a root of the polynomial (if p(a) = 0).

Overall, the Remainder theorem gives you the flexibility of detecting roots, which is a crucial ability at the time of factoring polynomials.

نصائح للنجاح

Typically, when working with polynomials, it is more convenient to use synthetic substitution than direct evaluation, especially when you are doing work by hand.

تجنب الأخطاء مع العلامات , والتوخي مع قoauded pemdas يمكن أن تزيد من فرص تطبيق النظرية بشكل صحيح.

مثال: نظرية الباقي والاستبدال الاصطناعي

باستخدام الاستبدال الاصطناعي , ابحث عن \(p\left(\frac{1}{2}\right)\) من أجل الحدود \(p(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3\)

الملم: لدينا \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) , ونحن بحاجة إلى تقييمها على \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) , ولأي الغرض سوف نستخدم نظرية الباقي.

So we divide : \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\), by the divisor \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), and then we find the remainder.

الظهر 1: من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: Now we pass directly the leading term \(\displaystyle 2\) to the result row:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 2&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1: \(\frac{1}{2} \cdot \left(2\right) = 1\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 2&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2: \( \displaystyle -3+1 = -2\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & \\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-2\right) = -1\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3: \( \displaystyle 2-1 = 1\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1\end{array}\]

الظهر 8: Now adding the values in column 4: \( \displaystyle -3+\frac{1}{2} = -2\) and this result is inserted in the result row, column4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{2} & \displaystyle 2 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -3\\[0.6em]& 0 & 1 & -1 & \frac{1}{2}\\[0.6em]\hline& 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\]

تاسنتا: Therefore and using the Remainder Theorem, we conclude that for the given dividend \(\displaystyle p(x) = 2x^3-3x^2+2x-3\) and divisor \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), we get that the remainder is \(\displaystyle r(x) = -2\), so then we conclude that \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = -2\).

مثال: باستخدام نظرية الباقي

Consider the following polynomial of degree 4: \(p(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1\). Use the remainder theorem to compute \(p(-1)\).

الملم: تم توفير متعدد الحدود التالية: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) , والتي يجب تقييمها عند النقطة \(\displaystyle x = -1\) باستخدام نظرية الباقي.

من أجل استخدام نظرية الباقي , نحتاج إلى إجراء الاستبدال الاصطناعي , الذي نحتاج إليه إلى الانقسام الاصطناعي لـ: \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) , والقسمة \(\displaystyle s = x+1\) , ثم العثور على الباقي.

لاحظ أن درجة الأرباح هي \(\displaystyle deg(p) = 4\) , في حين أن درجة المقسوم هي \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x+1 = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle -1\).

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(\displaystyle 1\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|cccc} -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1: \(-1 \cdot \left(1\right) = -1\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2: \( \displaystyle 0-1 = -1\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2: \(-1 \cdot \left(-1\right) = 1\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3: \( \displaystyle -3+1 = -2\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & \\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3: \(-1 \cdot \left(-2\right) = 2\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & \end{array}\]

الظهر 8: الآن إضافة القيم في العمود 4: \( \displaystyle 2+2 = 4\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

الـ alخطoة 9: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 4: \(-1 \cdot \left(4\right) = -4\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4\end{array}\]

الظهر 10: الآن إضافة القيم في العمود 5: \( \displaystyle -1-4 = -5\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 5.

\[\begin{array}{c|cccc}-1 & \displaystyle 1 & \displaystyle 0 & \displaystyle -3 & \displaystyle 2 & \displaystyle -1\\[0.6em]& 0 & -1 & 1 & 2 & -4\\[0.6em]\hline& 1 & -1 & -2 & 4 & -5\end{array}\]

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأننا وصلنا إلى النتيجة في العمود النهائي , الذي يحتوي على الباقي.

تاسنتا: لذلك وباستخدام نظرية الباقي , فإننا نستنتج أنه بالنسبة للربح المحدد \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^2+2x-1\) وقسام \(\displaystyle s(x) = x+1\) , نحصل على أن الباقي هو \(\displaystyle r(x) = -5\) , إذن نستنتج أن \(\displaystyle p\left(-1\right) = -5\).

مثال: تطبيق نظرية الباقي آخر

هل x = 3 جذر متعدد الحدود \( p(x) = x^3 - x^2 + x - 2\)؟

الملم: لدينا \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) , وسنقوم بتقييم هذا الحدود في النقطة \(\displaystyle x = 3\) لمعرفة ما إذا كان جذرًا.

لذلك نحن نستخدم الأرباح \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) , والقسمة \(\displaystyle s = x-3\) , ثم نحتاج إلى العثور على الباقي.

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x-3 = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle 3\).

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(\displaystyle 1\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|ccc} 3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &\displaystyle 1&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1: \(3 \cdot \left(1\right) = 3\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&\displaystyle 1&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2: \( \displaystyle -1+3 = 2\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2: \(3 \cdot \left(2\right) = 6\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3: \( \displaystyle 1+6 = 7\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3: \(3 \cdot \left(7\right) = 21\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7\end{array}\]

الظهر 8: الآن إضافة القيم في العمود 4: \( \displaystyle -2+21 = 19\) ويتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|ccc}3 & \displaystyle 1 & \displaystyle -1 & \displaystyle 1 & \displaystyle -2\\[0.6em]& 0 & 3 & 6 & 21\\[0.6em]\hline& 1 & 2 & 7 & 19\end{array}\]

تاسنتا: لذلك وباستخدام نظرية الباقي , فإننا نستنتج أنه بالنسبة للربح المحدد \(\displaystyle p(x) = x^3-x^2+x-2\) وقسام \(\displaystyle s(x) = x-3\) , نحصل على أن الباقي هو \(\displaystyle r(x) = 19\) , إذن نستنتج أن \(\displaystyle p\left(3\right) = 19\).بما أن \(\displaystyle p\left(3\right) = 19 \ne 0\) , نستنتج أن \(x = 3\) ليس جذر متعدد الحدود.

المزيد من الحاسبة الجبر

مراكز الجبر على الدراسة و حstab mtudad alحdod .يمكن رؤية ذلك بوضوح عندما ندرك أن النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل تدور حول جذور الجنرال كثyer alحdod mn derجة n

لاحظ كيف يمكن استخدام نظرية الباقي من خلال الاستخدام المباشر لـ طريقة الاستبدال الاصطناعية والتي بدورها يتم سنها باستخدام الانقسام الاصطناعي للعديد من الحدود . So then clearly the نظرية العداد وكذلك تقسيم الحدود المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بـ الهاور علاوة وبعد