الصيغة التربيعية: كيف تحل معادلة تربيعية؟

المعادلة التربيعية هي معادلة للنموذج:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

مع \( a \neq 0\).هذه هي الصيغة الرئيسية التي تحدد أ عازال .

الأخبار السارة هي أن المعادلة أعلاه ليس من الصعب حلها , وهذا أمر رائع بالنظر إلى أن المعادلة التربيعية تظهر حرفيًا في كل مكان في الجبر والتكامل وفي كل مكان إلى حد كبير.

حل الصيغة التربيعية

الآن , السؤال هو كيفية حل هذه الصيغة التربيعية.لحسن الحظ , الإجابة بسيطة ومعروفة: لديها حلول للنموذج

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

هذه معروفة باسم جذoer الماعد (المعروف أيضا باسم حلول المعادلة).من أجل تحليل طبيعة الحل , يتم تعريف التمييز على النحو التالي:

\[D = b^2 - 4ac\]

أنواع الحلول للصيغة التربيعية

بناءً على قيمة التمييز , يتم تعريف طبيعة الحلول.في الواقع , عندما يكون \(D > 0\), هناك حلان حقيقيان مختلفان , عندما يكون \(D = 0\), هناك حل حقيقي واحد متكرر , وعندما \(D < 0\), هناك حللين وهميين مختلفين.هذا حlalah tlmuadlة altrabiuebyة يساعدك على إجراء هذه الحسابات تلقائيًا.

أحد الأشياء الأنيقة لهذا المحاليل المعادلة التربيعية هو أنه سيظهر الخطوات لحساب مفهوم Y , وإحداثيات القمة , وسوف ترسم الوظيفة التربيعية

.

خطوات الصيغة التربيعية

هناك العديد من الخطوات التي عليك اتباعها من أجل حل معادلة تربيعية بنجاح:

alخطoة 1: tحdiad chafamalat. فحص المعادلة المحددة للنموذج \(ax^2+bx+c\), وحدد معاملات \(a\)و \(b\)و \(c\).معامل \(a\)هو المعامل الذي يبدو مضاعفة المصطلح التربيعي \(x^2\).المعامل \(b\)هو المعامل الذي يبدو مضاعفة المصطلح الخطي \(x\), ومعامل \(c\)هو الثابت.

مثال: افترض أن لديك التعبير التالي: \(x^2+3x+1\).ما هي المعاملات؟في هذه الحالة \(a = 1\)(المعامل يضاعف المصطلح التربيعي \(x^2\)) و \(b = 3\)(المعامل يضاعف المصطلح الخطي \(x\)) و \(c = 1\)(الثابت).

مثال: ماذا عن افترض أن لديك التعبير التالي: \(\frac{5}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} x^2\).ما هي المعاملات الآن؟في هذه الحالة \(a = \frac{1}{2}\)(المعامل يضاعف المصطلح التربيعي \(x^2\)) و \(b = \frac{3}{4}\)(المعامل يضاعف المصطلح الخطي \(x\)) و \(c = \frac{5}{4}\)(الثابت).

مثال: ما يحدث مع التعبير التالي: \(-3 + \frac{1}{2} x\).في هذه الحالة , لدينا \(a = 0\), لأن التعبير لا يحتوي على مصطلح تربيعي \(x^2\), لذلك في هذه الحالة , هذا ليس تعبيرًا تربيعيًا.

alخطoة 2: قm btoصyile tamakamlat alty و جdtha فy alصiغة. الصيغة هي الصيغة التربيعية

\[x = \displaystyle\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

لذلك تحتاج إلى استبدال قيمة المعاملات \(a\)و \(b\)و \(c\).

مثال: إذا كان لديك المعادلة: \(-3x^2 + 2x-1 = 0\), ستجد أن \(a = -3\)و \(b = 2\)و \(c = -1\).لذلك , توصيل هذه القيم في الصيغة التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-3)(-1)}}{2(-3)}\]

chalخطoة 3: tbosiط chyam فy chyadadlة , begجrad toصyal قym \(a\)و \(b\)و \(c\) .في المثال السابق , سيكون لدينا

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}\]

ال alخطoة 4: ينكر داال الهادريبي. إذا كانت القيمة إيجابية , فعندئذ عازال له جذور حقيقية.إذا كانت القيمة 0 , فهناك جذر حقيقي واحد , وإذا كانت القيمة الموجودة داخل الجذر التربيعي سلبيًا , فهناك جذران معقدان.في المثال السابق , لدينا -8 داخل الجذر التربيعي , لذلك لدينا حلين معقدين , كما هو موضح أدناه:

\[x = \displaystyle\frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{-6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{-6}= \frac{-2 \pm i \sqrt{8}}{-6}\]

ما هي الصيغة التربيعية المستخدمة ل

ال الإلهاء هي واحدة من أكثر الصيغة في كل مكان في الرياضيات.يظهر عندما تقوم بحل كل أنواع المشكلات الهندسية , مثل عندما تقوم بتعظيم منطقة ما , مع إعطاء محيط ثابت , أو في العديد من مشاكل الكلمات.

يتساءل الكثير من الناس عما إذا كانت هناك أي علاقة بين صيغة المعادلة التربيعية هذه وطريقة إكmah tlmerbabed .الجواب بسيط: تصل إلى الصيغة التربيعية بواسطة حlmadadlة altrabiuebyة عن طريق إكمال المربع.إنها بالضبط نفس الفكرة , التي تستمد إلى الصيغة التربيعية التي نعرفها جميعًا.

لاحظ أن الحلول للمعادلة التربيعية لها خاصية هندسية مثيرة للاهتمام للغاية: عندما تقوم بحساب متوسط الحلول الموجودة , ستحصل على الإحداثيات X من قمة المكافئ , مما يساعدك في العثور على روس من المكافئ , المعروف أيضًا باسم النموذج القياسي , المستخدم في العديد من التطبيقات , يشكل مثالًا مع الأقسام المخروطية.

أمثلة الصيغة التربيعية

حساب جذور المعادلة التربيعية التالية: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

حل:

يجب حل المعادلة التالية:

\[ 3 x^2 -2 x + 4 = 0\]

هذا يتوافق مع المعادلة التربيعية.يتم استخدام الصيغة التالية للعثور على الحلول:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

باستخدام الصيغة أعلاه , نحصل على ذلك:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4(3)(4)}}{2(3)}\]\[= \frac{ 2 \pm \sqrt{ -44}}{ 6}\]

وبالتالي , فإن الحلول هي:

\[x_1 = 0.333 - 1.106 i \] \[x_2 = 0.333 + 1.106 i \]

لذلك , هناك حلان خياليان \(x_1 = 0.333 - 1.106 i \)و \(x_2 = 0.333 + 1.106 i \).

أيضًا , يحدث التقاطع y في \(y = 4\), مما يعني أن إحداثيات مفهوم y هي \((0, 4)\).

أخيرًا , إحداثيات القمة هي:

\[x_V = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2\cdot 3} = 0.3333\] \[y_V = f(x_V) = 3 (0.3333)^2 -2 (0.3333) + 4 = 3.6667\]