حلول الجبر

التقسيم متعدد الحدود

عاليما: استخدم حاسبة التقسيم متعدد الحدود لتقسيم اثنين من الحدود الحدود التي تقدمها توضح جميع الخطوات.يرجى كتابة اثنين من الحدود في مربع النموذج أدناه.

التقسيم متعدد الحدود

ستقوم هذه الآلة الحاسبة بإجراء قسم متعدد الحدود لك , وكل ما عليك فعله هو توفير اثنين من الحدود الحدودية الصالحة.ترتيب هذه كثير الحدود يتم إعطاؤه مسائل , لأن التقسيم متعدد الحدود هو لا تباديل (إذن , P (x)/s (x) ليس هو نفسه S (x)/p (x)).

الحدود الأولى التي تقدمها , والتي تسمى في كثير من الأحيان توزيعات الأرباح , يتوافق مع توزيعات الأرباح , والعديد من الحدود الثانية هي التي تقسمها , والتي عادة ما تسمى المقسوم.

أمثلة على الحدود الصالحة الصالحة هي p (x) = x^4 + 3x^3 - 2 و s (x) = x - 3 , ولكن لا يجب أن تكون معاملات كثير الحدود أكثرتعبير رقمي صالح.أيضا , لا يجب أن تأتي الحدود.إذا لزم الأمر , فإن الآلة الحاسبة ستعمل Tbsiط mtudad alحdod قبل الانقسام.

بمجرد تقديم الحدود الصافية , يتم تعيينك جميعًا.كل ما تبقى هو النقر على "حساب" , حتى تتمكن من الحصول على جميع خطوات العملية المعروضة.

كيفية تقسيم متعدد الحدود

التقسيم متعدد الحدود أكثر تعقيدًا قليلاً من الأرقام المقسمة.على سبيل المثال , عندما نقسم رقمين مثل "4 مقسوما على 2" , فإننا نفعل 4/2 = 2. هل من السهل , أليس كذلك؟

لكن الأمر ليس سهلاً دائمًا , لأنه يمكن أن يكون لدينا شيء مثل "7/2".يمكنك أن تقول "حسنًا , 7/2 = 3.5" وستكون صحيحًا , لكن طريقة أخرى للرؤية هي القول إن "7 مقسومًا على 2 هو 3 , مع بقية 1".لماذا ا؟نظرًا لعدم وجود عدد صحيح مثل الضرب بمقدار 2 وصول 7. الأقرب هو 3 , بحيث \(2 \cdot 3 = 6\) , لكن لدي ما تبقى من 1

بالضبط نفس الفكرة تنطبق على التقسيم متعدد الحدود.بالنظر إلى كثير الحدود \(p(x)\) ومقاطع \(s(x)\) سنفعل مداول للعثور على حاصل \(q(x)\) من هذا القبيل

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)\]

لكننا لن نكون قادرين دائمًا على ذلك , بنفس الطريقة التي لم نتمكن من العثور على قسم دقيق.بعد ذلك , سنحدد الباقي \(r(x)\) , وهو متعدد الحدود الذي يمثل مقدار \(s(x) \cdot q(x)\) "تفوت" عند الهدف من p (x).لذلك نكتب

\[\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)\]

من الناحية المثالية , نريد أن يكون \(r(x)\) صفرًا , وإذا لم يكن الأمر كذلك , فسنريد أن يكون صغيرًا قدر الإمكان.تُظهر لنا خوارزمية الإقليدس كيفية العثور على أصغر \(r(x)\) وإذا كانت الأمور تسير على ما يرام , فقد تكون صفرًا , وفي هذه الحالة نقول أن المقسوم \(s(x)\) يقسم متعدد الحدود \(p(x)\).

ما هي خطوات التقسيم متعدد الحدود؟

الظهر 1: تحديد توزيع الأرباح P (X) والمقاطع S (X).تأكد من تبسيطها قدر الإمكان قبل المتابعة
ال alخطoة 2: إذا كانت درجة S (x) أكبر من درض P (x) , توقف , في هذه الحالة , يكون الحاصل صفرًا والباقي هو p (x)
الله 3: إذا لم تتوقف في الخطوة 2 , لاحظ المدة الرائدة في المقسوم , والمدة الرائدة في الأرباح
الظهر 4: ابحث عن الانقسام بين الشروط الرائدة للربح والمقسميضاف إلى الحاصل الحالي
الظهر 5: اضرب العامل الحالي من قبل المقسوم , والنتيجة , قم بطرحه على توزيعات الأرباح , وبهذه الطريقة تخلق توزيعات توزيعات حالية جديدة
ال 6: كرر هذه العملية حتى يتمتع بتوزيع الأرباح الحالية بدرجة أقل من المقسوم.ثم توقف , أنت المقسوم الحالي سيكون المتبقي

هذه العملية مضمونة للعمل لأن توزيعات الأرباح الحالية تقلل شهادتها على الأقل من كل خطوة.ذكي , هاه؟

ما هي طريقة استخدام , الانقسام الطويل أو التقسيم الاصطناعي؟

يتم استخدام التقسيم الاصطناعي في الحالة الخاصة التي يحصل المقسوم على درجة واحدة.على سبيل المثال s (x) = x - 1 , لكنه لن يعمل مع s (x) = x^2 - 1 على الرغم من وجود إصدارات من خoarزmiة hltقym alaصطnauiة للحصول على درجات أعلى.تقتصر الانقسام الاصطناعي عادة على مقسومات الدرجة 1 بسبب ارتباطه الحميم بـ العداد و ال نظرية العداد , غير منطقي.

سيحدث التقسيم الطويل في معظم الحالات , عندما لا ينطبق التقسيم الاصطناعي.لاحظ أن التقسيم الاصطناعي يستخدم طريقة التقسيم الطويل , فقط أنه يتم تكييفه ليكون سريعًا للغاية , ولهذا السبب هي الطريقة المفضلة عند الإمكان.

كيفية استخدام التقسيم متعدد الحدود لحل المعادلات متعددة الحدود؟

الظهر 1: حدد المعادلة كثير الحدود الخاصة بك , وتأكد
ال alخطoة 2: تمرير جميع المصطلحات على جانب واحد إلى الجانب الآخر عن طريق تغيير العلامات
الله 3: قم بتجميع جميع المصطلحات على جانب واحد وتبسيط
الظهر 4: الآن لديك معادلة متعددة الحدود يكون فيها جانب واحد كثير الحدود , والجانب الآخر هو 0 , لذلك فإنه يحل عن طريق الحجم متعدد الحدود المقابل
الظهر 5: أولا , تحاول مع نظري الله لمحاولة العثور على جذور بسيطة
ال 6: قم بتجميع الجذور البسيطة , وإنشاء المصطلحات الخطية المقابلة المرتبطة (على سبيل المثال: إذا كانت x = 1 حل , وتشكيل المصطلح x - 1) , وضربها وقسم الحدود.بهذه الطريقة , ستحصل على حاصل من الترتيب السفلي
الظهر 7: كرر الخطوات مع حاصل الترتيب السفلي الموجود في الخطوات السابقة

كما ترون , لا توجد اختصارات أو صيغ سحرية ل الهاور علم .ولكن هناك إجراء منهجي يمكن أن يزيد من فرص إيجاد الجذور في أقصى حد ممكن.

لماذا تهتم بتقسيم الحدود الحددية

على وجه التحديد لأن التقسيم متعدد الحدود هو مفتاحك إyجad جذor allmadadlaT , والتي هي واحدة من الموضوعات المركزية للجبر.

مثال: حساب التقسيم متعدد الحدود

احسب التقسيم التالي: \(\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}\)

الملم: في هذه الحالة , من القسم شريطة أن يكون لدينا أن توزيعات الأرباح هي \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) , والقسمة هي \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

في هذه الحالة , تكون درجة الأرباح هي \(\displaystyle deg(p) = 3\) , في حين أن درجة المقسوم هي \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

الظهر 1: المصطلح الرائد للموزى \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) هو \(\displaystyle 3x^3\) , في حين أن المصطلح الرئيسي للمقاطع \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) يساوي \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرائد من الأرباح هو \(\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نحن نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2\) , والذي نحتاج إلى طرحه على توزيعات الأرباح:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle -x^2+3x+3\) هو \(\displaystyle x^2\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}\]

الله 3: الآن , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle \frac{10}{3}x+3\) هو \(\displaystyle \frac{10}{3}x\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}\]

التي تنهي العملية بالتالي.

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المعطى \(\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3\) والمقسمات \(\displaystyle s(x) = 3x+1\)

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}\]

مثال: قسم آخر من الحدود

احسب تقسيم الأرباح \(\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}\) والمقسمات \(s(x) = 3x+1\)

الملم: في هذه الحالة , تم تقديمنا: \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) , والتي يجب أن تقسمها الحدود \(\displaystyle s(x) = 3x+1\).

الآن , تكون درجة الأرباح هي \(\displaystyle deg(p) = 4\) , ودرجة المقسوم هي \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

الظهر 1: المصطلح الرائد للموزى \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) هو \(\displaystyle \frac{1}{3}x^4\) , في حين أن المصطلح الرئيسي للمقاطع \(\displaystyle s(x) = 3x+1\) يساوي \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرائد من الأرباح هو \(\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نحن نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3\) , والذي نحتاج إلى طرحه على توزيعات الأرباح:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

ال alخطoة 2: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}\) هو \(\displaystyle -\frac{10}{9}x^3\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

الله 3: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}\) هو \(\displaystyle \frac{10}{27}x^2\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}\]

الظهر 4: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}\) هو \(\displaystyle \frac{152}{81}x\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle 3x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(3x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}\]

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأن درجة الباقي الحالي \(r(x) = -\frac{709}{486}\) أقل من درجة المقسوم \(s(x) = 3x+1\).

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المعطى \(\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}\) والمقسمات \(\displaystyle s(x) = 3x+1\)

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}\]

مثال: المزيد من الانقسامات متعددة الحدود

احسب التقسيم التالي من الحدود: \(\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}\).هل يمكننا القول أن x = -1 هو جذر \(4x^4-2x^2+x-1\)

الملم: لدينا توزيعات الأرباح والقسائم التالية: \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) و \(\displaystyle s(x) = x+1\).

لدينا أن درجة الأرباح هي \(\displaystyle deg(p) = 4\) , ودرجة المقسوم هي \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

الظهر 1: المصطلح الرائد للموزى \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) هو \(\displaystyle 4x^4\) , في حين أن المصطلح الرئيسي للمقاطع \(\displaystyle s(x) = x+1\) يساوي \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرائد من الأرباح هو \(\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نحن نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3\) , والذي نحتاج إلى طرحه على توزيعات الأرباح:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

ال alخطoة 2: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1\) هو \(\displaystyle -4x^3\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

الله 3: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle 2x^2+x-1\) هو \(\displaystyle 2x^2\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}\]

الظهر 4: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle -x-1\) هو \(\displaystyle -1x\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}\]

ونحن نتوقف عن التكرار , لأن درجة الباقي الحالي \(r(x) = 0\) أقل من درجة المقسوم \(s(x) = x+1\).

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المعطى \(\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1\) والمقاطع \(\displaystyle s(x) = x+1\) , فإننا نحصل على أن الحاصل هو \(\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1\) والباقي هو \(\displaystyle r(x) = 0\) , مما يعني أن \(s(x)\) يقسم \(p(x)\) بالضبط , ونحصل

\[\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1\]