حاسبة الاستبدال الاصطناعية

يمكن أن تساعدك هذه الآلة الحاسبة في عملية تقييم متعدد الحدود \(p(x)\) عند نقطة معينة \(x = a\).من أجل تشغيل الآلة الحاسبة , تحتاج إلى توفير متعدد الحدود من أي أمر , وتعبير رقمي صالح.

على سبيل المثال , قد ترغب في تقييم نقطة في كثير الحدود x^5 + 10x^3 - 2x - 12 , والنقطة التي تريد تقييمها هي 1/3.

لا يجب تبسيط الحدود , طالما أنها متعددة الحدود صالحة.على سبيل المثال , يمكنك كتابة x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 وستقوم الآلة الحاسبة أولاً تيبسيه الدادود , قبل إجراء العداد وبعد

بمجرد تقديم تعبير متعدد الحدود ومرجع , يمكنك النقر فوق "حساب" , للحصول على خطوات العملية المعروضة , والتي تتكون من تطبيق مناسبة توم الله ..

لماذا استخدام الاستبدال الاصطناعي؟

الاستبدال الاصطناعي هو ببساطة وسيلة لتقييم قيمة على متعدد الحدود.هذا هو , لديك قيمة \(x = a\) , وحداس \(p(x)\) , وتريد تقييم متعدد الحدود بالقيمة المحددة , لذلك تريد الحصول على قيمة \(p(a)\).

الآن , السؤال هو لماذا لا توصيل قيمة x = a إلى p (x) ببساطة؟على سبيل المثال , مع الحدود \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) والقيمة \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) سنحتاج إلى حساب

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

على الرغم من أنه قابل للتنفيذ , فإن الحساب أعلاه يبدو , HMMMMM , وليس دعوة إلى أقل ما يقال.إذن , هل هناك طريقة أفضل وأسهل لتقييم \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) من خلال الحدود \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) ؟؟تراهن هناك؟

اتضح أن ذلك بحكم نظرية العداد , عندما يكون لديك متعدد الحدود \(p(x)\) , وتقسمه على << x b >> , فإن ما تبقى منه يساوي << xyz >>.

السحر , أليس كذلك؟إذن كل ما عليك فعله هو أخذ الحدود \(p(x)\) , والقيام بتقسيم متعدد الحدود مع \(x-a\) باستخدام توم الله (تستطيع altخdam altقym alطoyl أيضًا , لكنه أكثر تعقيدًا)

خطوات لاستخدام الاستبدال الاصطناعي

• الظهر 1: حدد الحدود p (x) التي تعمل معها , والقيمة x = a التي تريد تقييم متعدد الحدود في
• ال alخطoة 2: إذا كانت درجة متعدد الحدود صفرًا , فإن الحدود ثابتة و P (A) ثابتة أيضًا
• الله 3: افترض أن الحدود الحدود لديه درجة 1 أو أعلى.قم بتطبيق التقسيم الاصطناعي على توزيع الأرباح P (x) و sists x - a
• الظهر 4: بمجرد الانتهاء من ذلك , انظر إلى العمود الأخير , وسوف تجد الباقي الرقمي.سيكون لديك بعد ذلك أن p (a) يساوي هذه القيمة

لذلك , يمكننا أن نرى ذلك Tقiem mtudad alحdod يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتقسيم متعدد الحدود , وهذا هو بالضبط ما تنص عليه نظرية الباقي.

تطبيقات الاستبدال الاصطناعي

كما ذكرنا من قبل , من الواضح أنه يمكننا استخدام آلة حاسبة لحساب \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\) بشكل صريح , ولكن من الواضح أنها مكلفة من الناحية الحسابية.

في الهندسة والتطبيقات الأخرى , من الواضح أننا سنرغب في استخدام العملية الفعالة قدر الإمكان , ويتم تقليل عملية الاستبدال الاصطناعي إلى حفنة من الضربات والإضافات البسيطة , والتي هي "أرخص بكثير" من الأساسيات التي ستكونمطلوب خلاف ذلك

كيف تعرف متى تستخدم التقييم الاصطناعي أو ببساطة توصيل متعدد الحدود؟

• الظهر 1: حدد الحدود p (x) التي تعمل معها , وقيمة x = a , التي ترغب في تقييم الحدود الحدود
• ال alخطoة 2: انظر إلى درجة p (x) , بدرجات من 0 أو 1 , ستقوم بتبسيط القابس في القيمة
• الله 3: للحصول على درجات من 2 وما بعده , يكون من المناسب استخدام التقييم الاصطناعي

تصبح راحة استخدام الاستبدال الاصطناعي واضحة مثل درا معدد الدة الزيادات , وخاصة بالنسبة للدرجة 4 وأعلى ..

نصائح للنجاح

حاول اتباع نهج منهجي , باستخدام الطريقة الجدولية المعتادة من أجل إتقانها.تجنب الأخطاء مع العلامات وعندما تضيف الصفوف أمر بالغ الأهمية للوصول إلى الباقي النهائي دون أخطاء.

مثال: استخدم الاستبدال الاصطناعي

النظر في كثير الحدود: \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) , قم بتقييمه عند النقطة \(x = \frac{1}{3}\)

الملم: تم توفير متعدد الحدود التالية: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) , والتي يجب تقييمها عند النقطة \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) باستخدام الاستبدال الاصطناعي.

من أجل إجراء الاستبدال الاصطناعي , نحتاج إلى القيام بتقسيم اصطناعي لـ: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) , والقسمة \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\) , والعثور على الباقي.

لاحظ أن درجة الأرباح هي \(\displaystyle deg(p) = 5\) , في حين أن درجة المقسوم هي \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(1\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1 , نحصل على: \(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2 , نحصل على: \( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2 , نحصل على: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نحصل على: \( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3 , نحصل على: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

الظهر 8: الآن إضافة القيم في العمود 4 , نحصل على: \( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

الـ alخطoة 9: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 4 , نحصل على: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

الظهر 10: الآن إضافة القيم في العمود 5 , نحصل على: \( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

ال 11: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 5 , نحصل على: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

الظهر 12: الآن إضافة القيم في العمود 6 , نحصل على: \( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 6.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}\]

الذي يخلص إلى هذا الحساب , لأننا وصلنا إلى النتيجة في العمود النهائي , الذي يحتوي على الباقي.

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المحدد \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) والمقسمات \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\) , فإننا نحصل على أن الباقي هو \(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\) , لذلك نستنتج أن \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\).

مثال: تطبيق الاستبدال الاصطناعي

هل القيمة x = 1 جذر متعدد الحدود: \(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)؟

الملم: يمكن تطبيق الاستبدال الاصطناعي كما هو الحال في المثال السابق , ولكن في حالة وجود قيمة بسيطة مثل x = 1 , يمكننا ببساطة سد x = 1 في الحساب والمعالجة بسيطة للغاية:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

إذن x = 1 ليس جذرًا.

مثال: المزيد من البدائل الاصطناعية

تقييم P (1/2) لـ \(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\).

الملم: الآن لدينا \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) , ليتم تقييمها عند النقطة \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) باستخدام الاستبدال الاصطناعي.

لذلك نحن نستخدم التقسيم الاصطناعي لـ: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) , والقسمة \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\) , والهدف هو العثور على الباقي.

الظهر 1: نظرًا لأن المقسوم لديه درجة 1 , يمكننا استخدام طريقة التقسيم الاصطناعي.من خلال حل \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) نجد مباشرة أن الرقم الواجب وضعه في مربع التقسيم هو: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن نمر مباشرة المصطلح الرائد \(1\) إلى صف النتيجة:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

الله 3: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 1 , نجد: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 1.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

الظهر 4: الآن إضافة القيم في العمود 2 , نجد: \( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

الظهر 5: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 2 , نجد: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

ال 6: الآن إضافة القيم في العمود 3 , نجد: \( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

الظهر 7: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 3 , نجد: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

الظهر 8: الآن إضافة القيم في العمود 4 , نجد: \( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

الـ alخطoة 9: اضرب المصطلح في مربع التقسيم بالنتيجة في العمود 4 , نجد: \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\) وهذه النتيجة مدرجة في صف النتيجة , العمود 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

الظهر 10: الآن إضافة القيم في العمود 5 , نجد: \( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\) وتتم إدراج هذه النتيجة في صف النتيجة , العمود 5.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}\]

تاسنتا: لذلك , نستنتج أنه بالنسبة للربح المحدد \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) والمقسمات \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\) , ونحصل على أن الباقي مساوي \(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\) , لذلك نستنتج أن \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\).

مزيد من الحاسبة الحدود

أهمية الآلتاميت معدد الدودود ولا يمكن التقليل من الحسابات. جذOR MATADED alحdod هي متعددة الاستخدامات بشكل لا يصدق وتظهر في العديد من التطبيقات في الفيزياء والهندسة..

في هذه المقالة , رأينا علاقة واضحة بالاستبدال الاصطناعي مع كليهما توم الله و تومام , الذي يغلق الدائرة التي امتدت من قبل نظرية العداد , وهو بلا شك سلف مباشر للنظرية الأساسية للجبر.