حاسبة عامل متعدد الحدود

ستتيح لك حاسبة العوملة ذات الخطوات إيجاد العامل متعدد الحدود تمامًا التي تقدمها , مما يوضح جميع خطوات العملية.

الحدود التي توفرها يجب أن تكون صالحة , شيء بسيط مثل p (x) = x^3 - x + 1 , أو يمكن أن يكون أكثر تعقيدًا , مع معاملات هي الكسور أو أي تعبير رقمي صالح.

بمجرد تقديم متعدد الحدود صالح , يمكنك المتابعة للنقر على الزر "حساب" , وسيتم تزويدك بجميع المدى خطوة بخطوة للعملية المطلوبة لعمل متعدد الحدود بشكل كامل , وهي عملية يمكن أن تكون عادلةيتم شاقة باليد , خاصة عندما تكون درا معدد الدة عالية.

لا توجد أي طريقة على الإطلاق لإفراط في تقدير أهمية كيفية معرفة كيفية عوامل الحدود , كما هي في مركز العديد من التطبيقات في الجبر والتكامل والتمويل والهندسة.

كيف يجب عوامل الحدود؟

باستثناء الحدود العكسية التربيعية , فإن الحدود المتعددة الحدود ليس بالأمر السهل بالضرورة , ويمكن أن يجلب صعوبات عند القيام به باليد.هناك عدد من الخطوات التي يجب اتباعها من أجل تحسين تغييراتك في العثور على بعض العوامل على الأقل

خطوات حاسبة العوامل

• الظهر 1: حدد التعبير الذي تعمل معه , وتبسيطه قدر الإمكان , وتأكد من أنه كثير الحدود.إذا لم تكن متعددة الحدود , فلا يوجد نهج محدد لمتابعة
• ال alخطoة 2: بمجرد حصولك على متعدد الحدود , لاحظ شهادته.إذا كان التربيعية (الدرجة 2) , يمكنك استخدام الإلهاء للعثور على عواملها
• الله 3: إذا كانت درجة كثير الحدود 3 أو أعلى , تحقق من وجود معامل ثابت , إذا كان صفرًا , فهذا يعني أنه يمكنك العوامل X , وتقليل درجة كثير الحدود الذي يبقى عاملًا
• الظهر 4: بعد الانتهاء من الخطوة 4 , تحتاج إلى اختبار المرشحين الجذر البسيط باستخدام نظرية Rational Zero.إذا وجدت أي جذر عقلاني , فهذه عوامل للنموذج (x - a) (حيث A عبارة
• الظهر 5: كرر الخطوات السابقة حتى يكون لديك عامل كامل , أو لا يمكنك القيام بأي تخفيض إضافي

هناك شيء واحد على الرغم من أنه تقني , إلا أنه يجب ذكره: يتم إجراء العوملة على مدى أ إل , وهو نوع من البنية الجبرية.عادة , الحقل الذي نستخدمه هو مجال الأرقام الحقيقية.

إذا استخدمنا آلة حاسبة العوامل لحقل الأرقام الحقيقية , فلن تكون جميع العوامل من النموذج \(x - a\) , حيث قد يكون لدينا أيضًا عوامل تربيعية , والتي لا يمكن اختزالها في الحقل الحقيقي.على سبيل المثال , لا يمكن تقليل \(x^2 + x + 10\) إلى عوامل خطية حقيقية , لأن ال عازال \(x^2 + x + 10 = 0\) له جذور معقدة.

لذلك في الخطوة 3 , عند التعامل مع وظيفة تربيعية , قد يكون العامل هو نفسه , إذا كانت جذورها معقدة.

العوامل والجذور

تتمثل طريقة استخدام عملية حساب العوملة في محاولة في الأساس أنواع مختلفة من العوملة لاستغلال بعض التماثلات أو عن طريق إيجاد جذور.إن العثور على التماثلات ليس شيئًا معينًا , لأنه يعتمد حقًا على انتظامات محددة يمكن العثور عليها , والتي ليست شائعة في جميع الحدود الحدودية.

عادةً ما تتم محاولة العوملة عن طريق التفتيش أو عن طريق التجميع , لكن تلك التي تتطلب أنماطًا محددة ليست موجودة دائمًا.الأمر يستحق ذلك لتفقد متعدد الحدود لمعرفة ما إذا كان يمكن القيام بشيء مباشر , ولكن نهج العوملة من خلال إيجاد الجذور أكثر منهجية , وسيعمل في حالات أكثر من طرق التفتيش.

أخطاء شائعة لتجنب

من الأهمية بمكان أن نفهم أن العامل متعدد الحدود يرتبط ارتباطًا وثيقًا بإيجاد جذره , والذي يتضمن جميعًا في نظري عظم .لذلك , تعتمد معرفة كيفية العوامل على قدرتك على معرفة كيفية العثور على جذور متعدد الحدود.

لن تكون هناك صيغة , إلا إذا كنت تتعامل مع وظيفة تربيعية.للحصول على درجات أعلى , لديك بدائل مختلفة: يمكنك استخدام العملية المنهجية الموضحة أعلاه , أو يمكنك محاولة التخمين ومحاولة القيام بالتفتيش أو محاولة استخدام بدائل أخرى مثل الهاول عدن وبعد

مثال: العوامل متعددة الحدود

عامل تماما: \(p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x\)

الملم: تم توفير متعدد الحدود التالية: \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x\) , والتي يجب أن تكون مؤهلة بالكامل على الأرقام الحقيقية.

خطoة أolelyة: التعبير متعدد الحدود المقدم غير قابل للاختزال , لذلك لا يوجد شيء للتبسيط.يمكننا المضي قدما في عوامل ذلك.

لاحظ أن درجة متعدد الحدود المعطاة هي \(\displaystyle deg(p) = 5\) , معامله الرائد هو \(\displaystyle a_{5} = 1\) ومعامله المستمر هو \(\displaystyle a_0 = 0\).

الممرى الهاون : نظرًا لأن المصطلح الأول مع معامل غير صفري في \(p(x)\) هو \(x\) , يمكننا أن نضع هذا المصطلح للحصول على

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

لكن المصطلح بين قوسين له درجة أعلى من 2 , لذلك لا توجد صيغة أولية لتوضيح ذلك.نحن بحاجة إلى اختبار جذور عقلانية محتملة.

تتمثل المهمة التالية في العثور على أرقام عدد صحيح تقسم المعامل الرائد \(a_{4}\) والمعامل المستمر \(a_0\) , والذي سيتم استخدامه لبناء مرشحينا ليكونوا أصفارًا للمعادلة الحية.

▹ مقسمات \(a_{4} = 1\) هي: \(\pm 1\).

▹ مقسمات \(a_0 = 2\) هي: \(\pm 1,\pm 2\).

لذلك , تقسيم كل مقسم للمعامل الثابت \(a_0 = 2\) على كل مقسم للمعامل الرائد \(a_{4} = 1\) , نجد القائمة التالية من المرشحين لتكون جذورًا:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

الآن , يجب اختبار جميع المرشحين لمعرفة ما إذا كانوا حلًا.يتم الحصول على ما يلي من اختبار كل مرشح:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

آمتوم مقتد دداود : نظرًا لأننا لا نملك جذورًا كافية بين المرشحين العقلانيين , فسوف نقسم \(\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) حسب منتج العوامل المستمدة من الجذور العقلانية , وهي \(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) \).

الظهر 1: المصطلح الرائد للموزى \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) هو \(\displaystyle x^4\) , في حين أن المصطلح الرئيسي للمقاطع \(\displaystyle s(x) = x^2-3x+2\) يساوي \(\displaystyle x^2\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x^2\) للوصول إلى المصطلح الرائد من الأرباح هو \(\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نحن نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2\) , والذي نحتاج إلى طرحه على توزيعات الأرباح:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

ال alخطoة 2: في هذه الحالة , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle x^2-3x+2\) هو \(\displaystyle x^2\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle x^2\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x^2\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

لذلك , فإن الحاصل هو \(\displaystyle q(x) = x^2+1\) , والباقي هو \(\displaystyle r(x) = 0\).

لذلك بعد الانقسام , تقدمنا في العوامل مع

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

ولكن الآن , نظرًا لأن الحاصل الذي تم العثور عليه \(\displaystyle x^2+1\) هو تربيعي , يمكننا أن نجد جذوره لمعرفة ما إذا كان بإمكاننا عوامله في الحقل الحقيقي.

نحتاج إلى حل المعادلة التربيعية التالية \(\displaystyle x^2+1=0\).

للمعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\) , يتم حساب الجذور باستخدام الصيغة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذه الحالة , لدينا أن المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي \(\displaystyle x^2+1 = 0\) , مما يعني أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

أولاً , سنحسب التمييز لتقييم طبيعة الجذور.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

نظرًا لأننا في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle -4 < 0\) , وهو أمر سلبي , نعلم أن المعادلة المعطاة لها جذور معقدة مختلفة.

الآن , توصيل هذه القيم في صيغة الجذور التي نحصل عليها:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

إذن , نجد ذلك:

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

لذلك بعد العثور على جذور الجزء التربيعي الأخير , نجد جذورتين معقدين , لذلك لا يمكننا أن نضع مصطلح \(x^2+1\) في الحقل الحقيقي , لذلك ننهي العملية مع \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\).

تاسنتا : لذلك , فإن العوامل النهائية التي نحصل عليها هي:

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

الجذور التي تم العثور عليها باستخدام عملية تحديد العوامل هي \(0\) , \(1\) , \(2\) , \(-i\) و \(i\).

مثال: حساب العوامل

ابحث عن عوامل ما يلي: \(p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\)

الملم: الآن نحن بحاجة إلى عامل: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x\).

خطoة أolelyة: لا يمكن أن ينخفض التعبير متعدد الحدود المقدم , وبعد ذلك يمكننا المضي قدمًا مباشرة في عامله.

الممرى الهاون : نظرًا لأن المصطلح الأول مع معامل غير صفري في \(p(x)\) هو \(x\) , يمكننا أن نضع هذا المصطلح للحصول على

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

لكن المصطلح بين قوسين له درجة أعلى من 2 , لذلك لا توجد صيغة أولية لتوضيح ذلك.نحن بحاجة إلى اختبار جذور عقلانية محتملة.

تتمثل المهمة التالية في العثور على أرقام عدد صحيح تقسم المعامل الرائد \(a_{3}\) والمعامل المستمر \(a_0\) , والذي سيتم استخدامه لبناء مرشحينا ليكونوا أصفارًا للمعادلة الحية.

▹ مقسمات \(a_{3} = 1\) هي: \(\pm 1\).

▹ مقسمات \(a_0 = 1\) هي: \(\pm 1\).

لذلك , تقسيم كل مقسم للمعامل الثابت \(a_0 = 1\) على كل مقسم للمعامل الرائد \(a_{3} = 1\) , نجد القائمة التالية من المرشحين لتكون جذورًا:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

الآن , يجب اختبار جميع المرشحين لمعرفة ما إذا كانوا حلًا.يتم الحصول على ما يلي من اختبار كل مرشح:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

ولكن نظرًا لأننا لم نعثر على أي جذور عقلانية عن طريق التفتيش , لا يمكننا الاستمرار في العوامل باستخدام الطرق الابتدائية , وبالتالي تتوقف العملية هنا.

تاسنتا : لذلك , في هذه الحالة , نحصل على:

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

لذلك , فإن الجذر الوحيد الموجود باستخدام عملية تحديد العوامل هو \(0\).

مثال: حساب العوملة

عامل تماما \( p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1\).ما هي جذور هذا الحدود؟

الملم: على سبيل المثال , لدينا \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) , وسنستخدم عملية العوامل كأداة لحساب جذورها.

خطoة أolelyة: التعبير متعدد الحدود المقدم غير قابل للاختزال , لذلك لا يوجد شيء للتبسيط.يمكننا المضي قدما في عوامل ذلك.

نحتاج إلى محاولة العثور على جذور عقلانية بسيطة أولاً , والتي يتم تحقيقها بمساعدة نظرية الجذر العقلاني.

تتمثل المهمة التالية في العثور على أرقام عدد صحيح تقسم المعامل الرائد \(a_{3}\) والمعامل المستمر \(a_0\) , والذي سيتم استخدامه لبناء مرشحينا ليكونوا أصفارًا للمعادلة الحية.

▹ هي فواصل عدد صحيح من \(a_{3} = 1\) هي: \(\pm 1\).

▹ هي فواصل عدد صحيح من \(a_0 = -1\) هي: \(\pm 1\).

وبالتالي , نقوم بتقسيم كل مقسم للمعامل الثابت \(a_0 = -1\) لكل مقسم للمعامل الرائد \(a_{3} = 1\) , حتى نتمكن من العثور على قائمة من المرشحين العقلانيين ليكونوا جذورًا:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

الآن , يجب اختبار جميع المرشحين لمعرفة ما إذا كانوا حلًا.يتم الحصول على ما يلي من اختبار كل مرشح:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

upmilleة hltقym mtudad : ليس لدينا ما يكفي من الجذور العقلانية من المرشحين الموجودين مع نظرية Zero العقلانية , لذلك سوف نقسم \(\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) من خلال منتج هذه العوامل العقلانية المستمدة من المرشحين الجذر العقلاني , مما يؤدي إلى \(\displaystyle \left(x-1\right) \).

الظهر 1: المصطلح الرائد للموزى \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) هو \(\displaystyle x^3\) , في حين أن المصطلح الرئيسي للمقاطع \(\displaystyle s(x) = x-1\) يساوي \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرائد من الأرباح هو \(\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نحن نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2\) , والذي نحتاج إلى طرحه على توزيعات الأرباح:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

ال alخطoة 2: الآن , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) هو \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

الله 3: الآن , فإن المصطلح الرئيسي للباقي الحالي \(\displaystyle x-1\) هو \(\displaystyle x\) , ونحن نعرف أن المصطلح الرئيسي للمقاطع هو \(\displaystyle x\).

إذن , فإن المصطلح الذي نحتاجه إلى مضاعفة \(x\) للوصول إلى المصطلح الرئيسي للباقي الحالي هو \(\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1\) , لذلك نضيف هذا المصطلح إلى الحاصل.أيضًا , نضاعف هذا من خلال المقسوم للحصول على \(\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1\) , والذي نحتاج إلى طرحه للتذكير الحالي:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

وبالتالي , من حاصل القسم , نستنتج أن \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1\) , مع بقية \(\displaystyle r(x) = 0\).

لذا , سنحصل على:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

لكن المعادلة \(\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1\) تربيعية , بحيث يمكن حساب الجذور مباشرة.

إذن , نحتاج إلى حساب التمييز من أجل معرفة طبيعة الجذور.صيغة التمييز هي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

لكننا نرى أن التمييز هو \(\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0\) , وهو أمر إيجابي , وبالتالي نستنتج أن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.

الآن , نقوم بتوصيل هذه القيم للحصول على:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

مع حلول المعادلة التربيعية أعلاه , والتي لها جذور حقيقية , فإننا نتحلل متعدد الحدود الأصلي على النحو التالي: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\).

تاسنتا : وبالتالي , في هذه الحالة نحقق تبسيطًا كاملاً:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

بناءً على العوامل المذكورة أعلاه , فإن الجذور الموجودة هي: \(1\) , \(\frac{1}{2}\) و \(2\).

مزيد من الحاسبة الحدود

هناك الكثير من الأشياء التي يمكنك القيام بها مع كثير الحدود , يمكنك روم باياني الله يمكنك تحليل سلوكهم النهائي , لكن هذه المهام أبسط وملحق تجاه المهمة الرئيسية التي هي الصخور المعتدر دداود وإيجاد جذورها.

المشكلة العامة للدرجات الأعلى معقدة , وعادة ما نقلل من أنفسنا وراثى , وربما و و ماعب التي لديها بعض التماثلات التي تسمح بتوصيل سهلة.