الحدود الحدود

ستسمح لك هذه الآلة الحاسبة بحساب جذور متعدد الحدود لأي كثير الحدود الصالحة التي تقدمها.هذا الحدود يمكن أن يكون أي كثير الحدود من الدرجة 1 أو أعلى.

على سبيل المثال , يمكنك توفير متعدد الحدود مكعب , مثل p (x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 , أو يمكنك تزويد متعدد الحدود مع معاملات غير نارية , مثل p (x) = x^3 - 13/12 X^2 + 3/8 X - 1/24.

بمجرد تزويد الآلة الحاسبة بنوع متعدد الحدود ساري المفعول الذي تريد حساب جذوره , يمكنك النقر على زر "حساب" , وسوف ترى تشغيلًا خطوة بخطوة للعملية.

يجب ذكر أن العملية تنطوي فقط على طرق أولية تستخدم للعثور على الجذور , والتي تشمل نظري الله و آمتوم مقتد دداود , وكذلك باستخدام الإلهاء عند الاقتضاء.

لا توجد طريقة عامة للعثور على جميع الجذور لجميع الحدودات الحداثة الممكنة الذروة أعلاه 5 , لذلك لن تجد هذه الآلة الحاسبة جذورًا يمكن الحصول عليها فقط باستخدام هذه الطرق الابتدائية المذكورة.

ما هو جذر متعدد الحدود؟

نظرا ل الداال- mtabedة alحdod \(p(x)\) , نقول أن \(x\) هو جذر متعدد الحدود إذا:

\[\displaystyle p(x) = 0 \]

من حيث الجذور العادية من متعدد الحدود هي النقاط التي تعبر الدالة الحية \(p(x)\) المحور السيني.هذا تمثيل جيد للحصول على فكرة , لكنه ليس دقيقًا تمامًا لأن بعض الجذور يمكن أن تكون أرقامًا معقدة.إذن , سيكون الجذر الحقيقي نقطة حيث \(p(x)\).

لاحظ أن جذور متعدد الحدود تسمى أيضا الأصفار الحدود.

ما هي خطوات العثور على الأصفار من الحدود؟

• الظهر 1: حدد التعبير الذي تريد العمل معه.تأكد من أنها متعددة الحدود وتبسيط قدر الإمكان
• ال alخطoة 2: سوف نستخدم الدونود نهج للعثور على جذره
• الله 3: ابدأ في محاولة العثور على جذور ابتدائية (عقلانية) مع نظري الله والاستخدام آمتوم مقتد دداود لتقليل متعدد الحدود الأصلي , إن أمكن
• الظهر 4: إذا نجحت الخطوة 3 وتمكنت من تقليل الحدود الأصلية , كرر الخطوات السابقة لمحاولة عوامل الحدود المنخفضة

عادةً ما يكون الأمر غير سهل , ويمكن أن يكون مكثفًا حسابيًا , ولا يضمن العمل , ولكنه أفضل طريقة ممكنة إذا كنا مقيدين باستخدام الأساليب الابتدائية.

يدرس الطريقة الوحيدة للعثور على الجذور

ليس حقًا , لكن الأمور تسير جنبًا إلى جنب.ال نظري عظم ينص على أن \(x - a\) هو عامل متعدد الحدود \(p(x)\) إذا وفقط إذا كان \(p(a) = 0\).وبعبارة أخرى , ترتبط الجذور والعوامل ارتباطًا وثيقًا.

الآن , من أجل كثير الحدود من الدرجة 2 (هذا هو , mtudad alحdod altrebiueة ) يمكننا استخدام صيغة صريحة , والتي تعرف جيدًا الإلهاء وبعد

يحدث الشيء نفسه بالنسبة للدرجات 3 و 4 , على الرغم من أن الصيغ بعيدة عن الابتدائية.ولكن بالنسبة للدرجة 5 وأعلى , لا توجد مثل هذه الصيغة , وهي نتيجة رئيسية أثبتتها Galois و Abel.لذلك ليس هناك أمل في العثور على "صيغة عامة" , وهذا هو السبب عوم يقترب.

أخطاء شائعة لتجنب

في كثير من الأحيان يشعر الطلاب بالإحباط لأنهم لا يستطيعون العثور على جذور المعطى الداال- mtabedة alحdod , قل \(p(x) = x^3+2 x^2-x+1 \) , لكنهم بحاجة إلى مواجهة حقيقة أنه لن يتمكن كل الحدود الحدودية باستخدام الأدوات الابتدائية.

منحت , هناك صيغة لحل \(x^3+2 x^2-x+1 = 0 \) , لكنها ليست أولية , وليس من المتوقع أن يعرف الطلاب ذلك.

نصائح للنجاح

حاول دائمًا القيام بخريطة عقلية لما ستكون عليه استراتيجيتك: لاحظ الحدود التي لديك , شهادتها , معاملها الرائد ومعامله المستمر.

آروم الدود إذا استطعت , للحصول على فكرة عن سلوكها.هل هناك أي عامل واضح يمكنك استخدامه؟استخدمهم.تذكر دائمًا العوامل = الجذور.

مثال: أصفار متعدد الحدود

ما هي الأصفار من: \(x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\)؟

الملم: في هذا المثال , يتم تزويدنا بالعندول الحديد التالي: \(\displaystyle p(x) = x^5+x^4-x^3+x^2-x+1\).سوف نستخدم نهج العوملة لإيجاد الجذور.

التتيبسي غyer mطlob: تم تبسيط التعبير متعدد الحدود المقدم بالفعل , لذلك لا يوجد شيء لتبسيطه أكثر.

تجدر الإشارة إلى أن درجة متعدد الحدود المقدمة هي \(\displaystyle deg(p) = 5\).أيضا , معامله الرائد هو \(\displaystyle a_{5} = 1\) ومعامله المستمر يساوي \(\displaystyle a_0 = 1\).

الآن نبحث عن أرقام عدد صحيح تقسم المعامل الرائد \(a_{5}\) والمعامل المستمر \(a_0\) , والذي يستخدم للعثور على مرشحين عقلانيين.

▹ مقسمات \(a_{5} = 1\) هي: \(\pm 1\).

▹ مقسمات \(a_0 = 1\) هي: \(\pm 1\).

لذلك , قسمة جميع عوامل المصطلح الثابت \(a_0 = 1\) من قبل جميع المقساة من \(a_{5} = 1\) , نحصل على القائمة التالية للجذور المحتملة:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

الآن , يجب تقييم جميع الحلول المحتملة.النتائج التي تم الحصول عليها من اختبار كل مرشح هي كما يلي:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4-\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^5+1^4-1^3+1^2-1+1 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

نظرًا لعدم تحديد أي جذور عقلانية من خلال التفتيش اليدوي , فإن التبسيط الإضافي باستخدام التقنيات الأساسية غير ممكن وينتهي العملية بهذه الخطوة.

تاسنتا : نتيجة لذلك , لم يتم الحصول على أي تبسيط ولم يتم تحديد أي جذور من الحدود من خلال التقنيات الأساسية

مثال: حساب الجذور وظيفة تربيعية

حساب حلول: \(3x^2 - 2x - 4 = 0\).

الملم: نحن بحاجة إلى حل المعادلة التربيعية المعطاة \(\displaystyle 3x^2-2x-4=0\).

يتم حساب جذور المعادلة التربيعية للنموذج \(a x^2 + bx + c = 0\) باستخدام المعادلة التالية:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

في هذا السياق , فإن المعادلة التي يجب حلها هي \(\displaystyle 3x^2-2x-4 = 0\) , مما يشير إلى أن المعاملات المقابلة هي:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = -4\]

أولاً , سنحدد طبيعة الجذور عن طريق حساب التمييز.يتم حساب التمييز على النحو التالي:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(-4\right) = 52\]

لأنه في هذه الحالة , نحصل على التمييز هو \(\Delta = \displaystyle 52 > 0\) , وهو أمر إيجابي , لذلك , فإن المعادلة لها جذور حقيقية مختلفة.

من هذا نحصل عليه:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(-4\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6}\]

إذن , نجد ذلك:

\[ x_1 = \frac{2}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}-\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{13} \] \[x_2 = \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{52}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{2}{6}+\frac{1}{3}\sqrt{13}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{13}\]

نجد أن المعادلة \( \displaystyle 3x^2-2x-4 = 0 \) لها جذور حقيقية , إذن: ثم:

\[\displaystyle 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

إذن , يتم أخذ الحدود الحية الأصلية في الحسبان على أنه \(\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right) \) , والذي يكمل العوامل.

تاسنتا : لذلك , يتم تقديم العوامل التي نبحث عنها بواسطة:

\[\displaystyle p(x) = 3x^2-2x-4 = 3 \left(x+\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\sqrt{13}-\frac{1}{3}\right)\]

الجذور الموجودة هي \(-\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\) و \(\frac{1}{3}\sqrt{13}+\frac{1}{3}\).

مثال: الأصفار متعدد الحدود

حساب الأصفار من الحدود التالية: \(p(x)= x^3 - \frac{13}{12} x^2 + \frac{3}{8} x - \frac{1}{24} \).

الملم: أخيرًا , في هذا المثال لدينا: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24}\).

العدد: التعبير متعدد الحدود المقدم غير قابل للاختزال , لذلك لا يوجد شيء للتبسيط.يمكننا المضي قدما في عوامل ذلك.

لاحظ أن درجة متعدد الحدود المعطاة هي \(\displaystyle deg(p) = 3\) , معامله الرائد هو \(\displaystyle a_{3} = 1\) ومعامله المستمر هو \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{24}\).

جذoer عداد : سنحاول العثور على جذور عقلانية بسيطة أولاً , مع نظرية Zero العقلانية.

تتمثل المهمة التالية في العثور على أرقام عدد صحيح تقسم المعامل الرائد \(a_{3}\) والمعامل المستمر \(a_0\) , والذي سيتم استخدامه لبناء مرشحينا ليكونوا أصفارًا للمعادلة الحية.

مولوو: في هذه الحالة , نلاحظ أنه من أجل الحصول على معامل ثابت وقيادي , نحتاج إلى تضخيم جانبي المعادلة بواسطة \(24\).المعادلة المكافئة هي:

\[24x^3-26x^2+9x-1 = 0\]

▹ مقسمات \(a_{3} = 24\) هي: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\).

▹ مقسمات \(a_0 = -1\) هي: \(\pm 1\).

لذلك , تقسيم كل مقسم للمعامل الثابت \(a_0 = -1\) على كل مقسم للمعامل الرائد \(a_{3} = 24\) , نجد القائمة التالية من المرشحين لتكون جذورًا:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 4},\pm \frac{ 1}{ 6},\pm \frac{ 1}{ 8},\pm \frac{ 1}{ 12},\pm \frac{ 1}{ 24}\]

الآن , يجب اختبار جميع المرشحين لمعرفة ما إذا كانوا حلًا.يتم الحصول على ما يلي من اختبار كل مرشح:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 24\cdot \left(-1\right)^3-26\cdot \left(-1\right)^2+9\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 24\cdot 1^3-26\cdot 1^2+9\cdot 1-1 & = & \displaystyle 6 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{2}\right)^3-26\left(\frac{-1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 2}\right)-1 & = & \displaystyle -15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{2}\right)^3-26\left(\frac{1}{2}\right)^2+9\cdot \frac{1}{2}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{3}\right)^3-26\left(\frac{-1}{3}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 3}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{70}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{3}\right)^3-26\left(\frac{1}{3}\right)^2+9\cdot \frac{1}{3}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{4}\right)^3-26\left(\frac{-1}{4}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 4}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{21}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{4}\right)^3-26\left(\frac{1}{4}\right)^2+9\cdot \frac{1}{4}-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{6}\right)^3-26\left(\frac{-1}{6}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 6}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{10}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{6} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{6}\right)^3-26\left(\frac{1}{6}\right)^2+9\cdot \frac{1}{6}-1 & = & \displaystyle -\frac{1}{9} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{8}\right)^3-26\left(\frac{-1}{8}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 8}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{165}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{8} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{8}\right)^3-26\left(\frac{1}{8}\right)^2+9\cdot \frac{1}{8}-1 & = & \displaystyle -\frac{15}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{12}\right)^3-26\left(\frac{-1}{12}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 12}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{35}{18} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{12} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{12}\right)^3-26\left(\frac{1}{12}\right)^2+9\cdot \frac{1}{12}-1 & = & \displaystyle -\frac{5}{12} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{-1}{24}\right)^3-26\left(\frac{-1}{24}\right)^2+9\left(-\frac{ 1}{ 24}\right)-1 & = & \displaystyle -\frac{91}{64} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{24} &:&    & \displaystyle 24\left(\frac{1}{24}\right)^3-26\left(\frac{1}{24}\right)^2+9\cdot \frac{1}{24}-1 & = & \displaystyle -\frac{385}{576} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

ولكن نظرًا لأننا وجدنا جميع الجذور المطلوبة بين المرشحين العقلانيين , نجد أن \(\displaystyle x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \) , إذن:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right) \]

التي تكمل عملية العوامل.

نتي : لذلك , فإن العوامل النهائية هي:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{13}{12}x^2+\frac{3}{8}x-\frac{1}{24} = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)\]

لذلك , فإن الجذور الموجودة هي \(\frac{1}{2}\) , \(\frac{1}{3}\) و \(\frac{1}{4}\).

الآلات الحاسبات متعددة الحدود أخرى مفيدة

الهاور عجل هو واحد قمة الجبر , لدرجة أن النظرية الأساسية للجبر تدور حول وجود جذور n من أجل الحدود من الدرجة n.لن تكون هذه الجذور ضرورية كلها حقيقية , وقد تكون بعضها (أو جميعها) أرقامًا كومبكس.

في نهاية المطاف , يمكن تقليل كل مشكلة تقريبًا في الجبر والتكامل إلى إيجاد جذور متعددة الحدود , بما في ذلك الحل الماعد , مثل تلك التي ستجدها على سبيل المثال , عند البحث عن الفتاكت باين آرسوم من \(y = x^2\) و \(y = x^3\).