شقوق الرياضيات - ما هو المشتق , حقًا؟
بدا لي أنه من المهم أن أتطرق إلى مفهوم اشتقاق الوظيفة. تعتبر عملية التفاضل (وهي حساب المشتقات) من أهم العمليات الأساسية في حساب التفاضل والتكامل وحتى في الرياضيات. سأحاول في هذا البرنامج التعليمي Math Crack إلقاء بعض الضوء على معنى وتفسير ماهية المشتق وما يفعله.
بادئ ذي بدء , لغرض توضيح ما هو نطاق هذا البرنامج التعليمي , أود أن أقول إننا لن نتدرب على حل مشاكل ممارسة معينة تشمل المشتقات ولكننا سنحاول بدلاً من ذلك فهم ما نقوم به عندما تعمل بالمشتقات. بمجرد أن نفهم ما نقوم به , لدينا فرصة أفضل لحل المشاكل.
تعريف المشتق (وليس الملل)
للبدء , من الضروري كتابة تعريف المشتق على الأقل. افترض أن \(f\) دالة و \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). حسنًا , بدأنا بالتقنيات بالفعل؟ كل ما نقوله هو أن \(f\) هي وظيفة. فكر في دالة \(f\) من خلال تمثيلها الرسومي الموضح أدناه:
أيضًا , عندما نقول أن "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)" , فكل ما نقوله هو أن \({{x}_{0}}\) هي نقطة يتم فيها تعريف الوظيفة جيدًا (لذا فهي تنتمي إلى نطاق ). لكن احتفظ بها , هل من الممكن أن تجعل نقطة \({{x}_{0}}\) دالة غير محددة جيدًا….؟ بالتأكيد! ضع في اعتبارك الوظيفة التالية:
\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]
لم يتم تعريف هذه الوظيفة بشكل جيد في \({{x}_{0}}=1\). ما الذي لم يتم تعريفه جيدًا في \({{x}_{0}}=1\)؟ لأننا إذا عوضنا بقيمة \({{x}_{0}}=1\) في الدالة التي نحصل عليها
\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]
وهي عملية غير صالحة (كما تعلم من المدرسة الابتدائية , لا يمكنك القسمة على صفر , على الأقل باستخدام القواعد الحسابية التقليدية) , وبالتالي فإن الوظيفة غير محددة جيدًا في \({{x}_{0}}=1\). لكي يتم تعريف الدالة جيدًا عند نقطة ما , يعني ذلك ببساطة أنه يمكن تقييم الوظيفة في تلك المرحلة , دون وجود أي عمليات غير صالحة.
الآن يمكننا أن نقولها مرة أخرى , لأنك الآن تعرف ما نعنيه: افترض أن \(f\) دالة و \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). يتم تعريف المشتق عند النقطة \({{x}_{0}}\) على أنه
\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]
عندما يوجد هذا الحد.
حسنًا , هذا هو جوهر المشكلة , وسنناقشها في ثانية. أود أن تكون لديكم بعض الأشياء واضحة للغاية هنا:
• عندما يكون الحد أعلاه موجودًا , نستدعي إذا \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) , ويشار إليه باسم "مشتق الوظيفة \(f\left( x \right) \) عند النقطة \({{x}_{0}}\)". إذن , \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) هو مجرد رمز نستخدمه للإشارة إلى مشتق الوظيفة \(f\left( x \right) \) عند النقطة \({{x}_{0}}\) (إن وجدت). كان بإمكاننا استخدام أي رمز آخر , مثل "\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)" أو "\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)". لكن بعض المعنى الجمالي يجعلنا نفضل "\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)".
النقطة هي أن رمز MADE UP للإشارة إلى مشتق الوظيفة \(f\left( x \right) \) عند النقطة \({{x}_{0}}\). الشيء المضحك في الرياضيات هو أن التدوين مهم. على الرغم من وجود مفهوم بغض النظر عن التدوين المستخدم للتعبير عنه , إلا أن التدوين المنطقي والمرن والمدمج يمكن أن يجعل الأشياء تشتعل بدلاً من ما يمكن أن يحدث مع تدوين مرهق غير ملهم
الدور الذي يلعبه التدوين
(تاريخيًا , استخدم مطورو إصدار قابل للاستخدام من مفهوم المشتق , لايبنيز ونيوتن , رموزًا مختلفة جذريًا.استخدم نيوتن \(\dot{y}\) , بينما استخدم لايبنيز \(\frac{dy}{dx}\). اشتعلت النيران في تدوين لايبنيز وسهّل التطوير الكامل لحساب التفاضل والتكامل , في حين أن تدوين نيوتن تسبب في أكثر من صداع واحد. حقًا , كان ذلك مهمًا).
• المشتق هو عملية POINTWISE. هذا يعني أنها عملية يتم إجراؤها على وظيفة في نقطة معينة , ويجب التحقق منها نقطة تلو الأخرى. بالطبع يوجد مجال نموذجي مثل السطر الحقيقي \(\mathbb{R}\) عدد لا نهائي من النقاط , لذلك قد يستغرق الأمر بعض الوقت للتحقق يدويًا إذا تم تحديد المشتق في كل نقطة. ولكن , هناك بعض القواعد التي تسمح بتبسيط العمل بشكل كبير عن طريق حساب المشتق عند نقطة عامة واحدة \({{x}_{0}}\) ثم تحليل قيم \({{x}_{0}}\) الحد الذي يحدد المشتق. لذا يمكنك الاسترخاء , لأن العمل اليدوي الشجاع لن يكون مرهقًا , إذا كنت تعرف ما تفعله بالطبع.
• عندما يكون مشتق دالة \(f\) موجودًا عند نقطة \({{x}_{0}}\) , فإننا نقول أن الوظيفة قابلة للتفاضل عند \({{x}_{0}}\). أيضًا , يمكننا القول أن الوظيفة قابلة للتفاضل في منطقة (المنطقة هي مجموعة من النقاط) إذا كانت الوظيفة قابلة للاشتقاق في كل نقطة من تلك المنطقة. إذن , على الرغم من أن مفهوم المشتق هو مفهوم نقطي (محدد في نقطة معينة) , يمكن فهمه على أنه مفهوم عالمي عندما يتم تعريفه لكل نقطة في منطقة ما.
• إذا حددنا \(D\) مجموعة جميع النقاط في السطر الحقيقي حيث يتم تعريف مشتق الوظيفة , فيمكننا تحديد دالة المشتق \(f'\) على النحو التالي:
\[\begin{aligned} & f':D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\ & x\mapsto f'\left( x \right) \\ \end{aligned}\]هذه وظيفة لأننا نربط بشكل فريد كل \(x\) في \(D\) بالقيمة \(f'\left( x \right) \). هذا يعني أن كل قيمة \(x\) في \(D\) مرتبطة بالقيمة \(f'\left( x \right) \). تشكل مجموعة جميع الأزواج \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \) , لـ \(x\in D\) دالة , ويمكنك القيام بكل الأشياء التي يمكنك القيام بها باستخدام الوظائف , مثل رسمها بالرسوم البيانية.
يجب أن يحسم ذلك السؤال الذي يطرحه العديد من الطلاب حول المشتقات , حيث يتساءلون كيف لدينا "وظيفة" مشتقة , عندما يكون المشتق شيئًا يتم حسابه في نقطة معينة معينة. حسنًا , الإجابة هي أننا نحسب المشتق عند عدة نقاط , مما يوفر الأساس لتعريف المشتق كدالة.
الكلمات الأخيرة: تدوين الجحيم
عندما تم وضع مفهوم المشتق في الشكل الحديث الذي نعرفه من قبل نيوتن ولايبنيز (أركز على مصطلح "الشكل الحديث" , حيث تم تطوير حساب التفاضل والتكامل بشكل كامل تقريبًا من قبل الإغريق وغيرهم بطريقة أكثر بديهية وأقل رسمية. منذ وقت طويل) , اختاروا رموزًا مختلفة جذريًا. اختار نيوتن \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\) , بينما اختار ليبنيز \(\frac{dy}{dx}\). حتى الان جيدة جدا. لكن مفهوم الاشتقاق لا يعنيه كثيرًا إذا لم يكن لدينا نظريات اشتقاق قوية.
باستخدام الرموز الخاصة بكل منهما , لم يواجه كلاهما مشكلة كبيرة في إثبات نظريات التفاضل الأساسية , مثل الخطية وقاعدة الضرب , لكن نيوتن لم يرَ الحاجة إلى ذكر قاعدة السلسلة رسميًا , ربما لأن تدوينه لم يفسح المجال لذلك. , بينما بالنسبة إلى تدوين Leibniz , تظهر قاعدة السلسلة نفسها تقريبًا مثل قاعدة "Duh". لمزيد من الدقة , افترض أن \(y=y\left( x \right) \) دالة وأن \(u=u\left( x \right) \) دالة أخرى.
إنه سؤال طبيعي أن نسأل عما إذا كان بإمكاني حساب مشتق التركيبة \(y\left( u\left( x \right) \right) \) بطريقة سهلة , بناءً على مشتقات \(y\) و \(u\). الإجابة على هذا السؤال هي قاعدة السلسلة. باستخدام تدوين Leibniz القاعدة هي
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]
يبدو الأمر كما لو كان بإمكانك إلغاء ملف __XYZ_A __ مثل:
\[\require{cancel}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{\cancel{du}}\frac{\cancel{du}}{dx}\]لكن الأمر ليس كذلك بالضبط. لكن هذا هو جمال تدوين Leibniz. لديه نداء بديهي للغاية (و "الإلغاء" __XYZ_A __ يكاد يكون واقعًا , إنه يتم فقط على مستوى \(\Delta u\) وهناك حدود متضمنة) , ولكن مع ذلك تحتاج إلى فهم ما قاله Leibniz مع القاعدة. هو يقول:
"مشتق الدالة المركبة \(y\left( u\left( x \right) \right) \) هو نفس مشتق \(y\) عند النقطة \(u\left( x \right) \) مضروبًا في مشتق \(u\) عند النقطة \(x\)"
قاعدة السلسلة التي تستخدم تدوين نيوتن تحصل على الشكل التالي:
\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]
أقل جمالًا قليلاً , أليس كذلك؟ لكن خمن ماذا , تقول قاعدة نيوتن المتسلسلة بالضبط نفس الشيء
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]
على الرغم من ذلك , اشتعلت النيران في هذا الترميز الأخير وساعد بشكل كبير في التطور السريع لحساب التفاضل والتكامل الحديث , في حين أن شكل نيوتن كان أقل شهرة. على الرغم من أن النظريات كانت تقول الشيء نفسه تمامًا , إلا أن أحدهما كان ذهبيًا والآخر ليس كثيرًا. لماذا ا؟ ملاحظة صديقي.